Disuguaglianza di Weitzenböck

[fedeb2]

in un triangolo siano a,b,c le lunghezze dei lati
dimostrare che $a^2+b^2+c^2>4sqrt(3)A$ e che si ha l'uguaglianza sse a=b=c
scusate la poca chiarezza ma il RHS è 4 radice di tre il tutto per l'area del triangolo
buon divertimento

[luluemicia]

Ciao,
per avere l'uguaglianza di cui parli non dovrebbe essere radice di 3 invece di radice di 2?

[fedeb2]

si scusate è radice di 3 non radice di 2 chiedo scusa
ora riedito il messaggio

[Eredir]

Dalla formula di Erone sappiamo che $A=\sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))$, dove $s=(a+b+c)/2$.
Elevando al quadrato e sostituendo $s$ si ottiene $16A^2=2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)$.

Quindi bisogna mostrare che $(a^2+b^2+c^2)^2>=3[2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)]$.
Espandendo il quadrato a sinistra otteniamo $a^4+b^4+c^4>=a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2$.
Questa si può riscrivere come $(a^2-b^2)^2+(a^2-c^2)^2+(b^2-c^2)^2>=0$, da cui segue che l'uguaglianza si ha per $a=b=c$.

[fedeb2]

si è giusto eredir
comunque ci sono anche altre soluzioni, di cui una è sicuramente molto meno intrippante di quella di eredir( quella trovata da me )
a voi people

[fu^2]

soluzione geometrica

Osservazione 1:
in un rettangolo $p^2>16A$, quindi essendo che a parità di lati l'area di un rettangolo è maggiore dell'area di un trapezio.
Osservazione 2:
un trapezio può esssere generato dall'unione di due triangoli.

quindi chaimati a,b i lati del trapezio e c la diagonale si ha che

$p^2>16A$
$p^2>16A
$4a^2+4b^2+8ab>16A
$a^2+b^2+2ab>4A
$sqrt3a^2+sqrt3b^2+2ab\sqrt3>4sqrt3A

per il th di Carrnot $c^2=a^2+b^2-2abcosalpha$ (con $0<=alpha<=pi/2$) possiamo quindi impostare questa disequazione:

$a^2+b^2+a^2+b^2-2abcosalpha>sqrt3a^2+sqrt3b^2+2ab\sqrt3$
$2a^2+2b^2-2abcosalpha>sqrt3a^2+sqrt3b^2+2ab\sqrt3
$(a^2+b^2)(2-sqrt3)-2ab(cosalpha-sqrt3)>0$ essendo che $|cosalpha|<1<2$ vale anche
$(a^2+b^2)(2-sqrt3)-2ab(cosalpha-sqrt3)>(a^2+b^2)(2-sqrt3)-2ab(2-sqrt3)=(2-sqrt3)(a-b)^2>0$

quindi
$2a^2+2b^2-2abcosalpha>sqrt3a^2+sqrt3b^2+2ab\sqrt3>4sqrt3A$
riscrivando:
$a^2+b^2+c^2>4sqrt3A$

se $a=b=c$ vuol dire che l'area del triangolo è $1/2*4Asqrt3=1/2*4bcos(pi/6)asqrt3=1/2*4ab\sqrt3/2sqrt3=3a^2$ e inoltrer vuol dire che $a^2+b^2+c^2=3a^2

e quindi si ottiene l'ugualianza.
cvd

spero che nn mi sia sfuggito nulla... certo non è bella, però..

[G.D.5]

Non propongo alcuna soluzione perché non lo so risolvere, ma ho una curiosità: nell'intestazione del topic si dice "Disugualglianza di (nome incomprensibile)"...qual è questo "nome incomprensibile"?

[fedeb2]

è stupenda!!!!!!!!!!!! pero c'è una soluzione quasi banale (vedi carnot e area del triangolo tramite il seno...).
l'avete scartata perche troppo semplice oppure semplicemente avete il gusto per l'astruso????????????

[fu^2]

"fedeb":è stupenda!!!!!!!!!!!! pero c'è una soluzione quasi banale (vedi carnot e area del triangolo tramite il seno...).
l'avete scartata perche troppo semplice oppure semplicemente avete il gusto per l'astruso????????????

un bel gusto per l'astruso

dai postala
almeno ci son tante soluzioni diverse eheh..

[Steven11]

@fu^2:
Forse invece di $p^2$ intendevi $(2p)^2$ ?
Non ho capito inoltre $a,b$ che lati sono del trapezio..

La dimostrazione che intende fedeb era la prima che avevo abbozzato, eccola.

$a^2+b^2+c^2>4sqrt3A$ (1)
ma per Carnot
$a^2=b^2+c^2-2bc*cosalpha$
e inoltre vale
$A=1/2bcsinalpha$ e usando queste uguaglianze la (1) diviene, dopo aver sommato e diviso per $2$
$b^2+c^2-bc(cosalpha+sqrt3sinalpha)>0$
che è sempre vera, eccezion fatta per il caso del triangolo equilatero, per il quale si ha $b=c, alpha=pi/3$
Si può vedere che la disequazione è vera prendendo il caso limite, ovvero quello in cui il terzo addendo "prevale" sugli altri due.
La funzione
$f(x)=cosalpha+sqrt3sinalpha$
assume valore massimo $2$, e in questo caso si ha l'uguaglianza. E' superfluo dire che per valori minori della funzione, si ha che la disequazione è vera.

ps: anche io vorrei sapere il nome della disuguaglianza, come Wizard.

[Fioravante Patrone1]

Weitzenböck

[G.D.5]

@Fioravante Patrone:

Grazie mille.

[fedeb2]

esatto io avevo fatto come steven, solo che invece di considerare l'andamento di quella funzione ho semplicemente notato che $cos(alpha)+sqrt(3)sin(alpha)=2sin(alpha+pi/6)$ e che il massimo è 2, proprio se il triangolo è equilatero ( che tra l'altro è quello che aveva detto steven, vabbe). da cui la tesi;
si nome del ceffo tuttavia mi risulta ancora impronunciabile...

[luluemicia]

Ciao a tutti,
SENZA USARE LE DERIVATE, calcolare il min della funzione definita da $\cotg (\alpha)+ \cotg (\beta) + \cotg (\gamma) $ con $\alpha, \beta, gamma$ positivi e la cui somma è $\pi$.

[luluemicia]

Ciao a tutti,
nel mio precedente post ho dimenticato di dire (ma era palese, spero) che non stavo cambiando argomento (solo apparentemente poteva sembrare un cambio di argomento; in realtà è un altra maniera di guardare le stesse cose).

[Sk_Anonymous]

Essendo $alpha,beta,gamma$ gli angoli di un triangolo ( di cui indichiamo con a,b,c i lati
ed R il circoraggio),si hanno le seguenti relazioni:
$a=2Rsin alpha,b=2Rsin beta,c=2Rsin gamma$
$A=(abc)/(4R)=2R^2sin alpha sin beta sin gamma$
$sin beta sin gamma <=(1+cos alpha)/2$
$sin^2 alpha +sin^2 beta+ sin^2 gamma=2(cos alpha sin beta sin gamma+cos beta sin gamma sin alpha+cos gamma sin alpha sin beta)$
Le ultime due relazioni si possono verificare sostituendo in esse $alpha=pi-(beta+gamma)$
Ciò fatto risulta:
$a^2+b^2+c^2=4R^2(sin^2 alpha +sin^2 beta+ sin^2 gamma)=8R^2(cos alpha sin beta sin gamma+cos beta sin gamma sin alpha+cos gamma sin alpha sin beta)$
Pertanto:
$(a^2+b^2+c^2)/(4A)=(cos alpha sin beta sin gamma+cos beta sin gamma sin alpha+cos gamma sin alpha sin beta)/(sin alpha sin beta sin gamma)=cot alpha +cot beta+cot gamma$
Si tratta quindi di dimostrare che è:
$cot alpha +cot beta+cot gamma>= sqrt3$
Ora è:
$cot alpha +cot beta+cot gamma=(cos alpha)/(sin alpha)+(sin(beta+gamma))/(sin beta sin gamma)=(cos alpha)/(sin alpha)+(sin alpha)/(sin beta sin gamma)$
Per la terza relazione indicata è allora:
$cot alpha +cot beta+cot gamma>=(cos alpha)/(sin alpha)+(2sin alpha)/(1+cos alpha)$
Od anche (scritta in maniera ad hoc) :
$cot alpha +cot beta+cot gamma>=(1+cos alpha)/(2sin alpha)+(3 sin alpha)/(2(1+cos alpha))$
Ed applicando la AM-GM alla fine si ha :
$cot alpha +cot beta+cot gamma>=2sqrt((1+cos alpha)/(2sin alpha)*(3 sin alpha)/(2(1+cos alpha)))=2sqrt(3/4)=sqrt3$
C.V.D.
Ciao

[fedeb2]

mostruoso...

[luluemicia]

Ciao a tutti,
molto interessante la prova di Manlio che non usa la disuguaglianza di Weitzenböck. Se la si vuole usare (è stata già provata da vari utenti senza usare le derivate) si può fare velocemente così.
Dal teorema di Carnot e dalla formula trigonometrica dell'area del triangolo:
$a^2=b^2+c^2-2bc *sinalpha*cotalpha=b^2+c^2-4A*cotalpha$ e le due analoghe. Sommando membro a membro e riducendo si ha facilmente: $a^2+b^2+c^2=4A*(cotalpha+cotbeta+cotgamma)$ da cui, per la disuguaglianze suddetta, si deduce che il minimo richiesto è appunto $sqrt3$.