Disuguaglianza di Tolomeo
Salve ragazzi, volevo condividere con voi questo esercizio che secondo me amerita di essere diffuso. Molti di voi conosceranno
o hanno sentito almeno una volta il teorema di Tolomeo:
http://planetmath.org/ProofOfPtolemysInequality.html
La dimostrazione riportata nel link a me lascia senza parole. Ve ne è una però molto semplice di cui oggi sono giunto a conoscenza su un libro e che ha molti spunti. Ve la propongo come esercizio:
EX: Dimostrare la disuguaglianza di Tolomeo usando i numeri complessi (identificando il piano $R^2$ con $C$ nel modo ovvio). Nei calcoli si usi la trasformazione da $C$ in $C$ che manda $z$ in $1/z$. Si osservi poi la dimostrazione fatta e si veda cosa è che rende facile la dimostrazione.
o hanno sentito almeno una volta il teorema di Tolomeo:
http://planetmath.org/ProofOfPtolemysInequality.html
La dimostrazione riportata nel link a me lascia senza parole. Ve ne è una però molto semplice di cui oggi sono giunto a conoscenza su un libro e che ha molti spunti. Ve la propongo come esercizio:
EX: Dimostrare la disuguaglianza di Tolomeo usando i numeri complessi (identificando il piano $R^2$ con $C$ nel modo ovvio). Nei calcoli si usi la trasformazione da $C$ in $C$ che manda $z$ in $1/z$. Si osservi poi la dimostrazione fatta e si veda cosa è che rende facile la dimostrazione.
Risposte
Forse Thomas si riferisce all'inversione circolare piana ... Riporto una dimostrazione che fa comunque riferimento
ai numeri complessi. Dette a,b,c,d le affisse ( ascisse complesse) dei vertici A,B,C,D del quadrilatero risulta:
\(\displaystyle AB\cdot CD+BC\cdot AD=|b-a|\cdot|d-c|+|c-b|\cdot |d-a|\geq |(b-a)(d-c)+(c-b)(d-a)|=\)
\(\displaystyle =|bd-bc-ad+ac+cd-ac-bd+ab|=|-bc-ad+cd+ab|=|c(d-b)-a(d-b)|=|(c-a)(d-b)|=AC\cdot BD \)
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