Distanze stravaganti
Buongiorno. Qualcuno conosce una definizione di distanza (una distanza nel piano) che ha come intorni dei punti esattamente i poligoni regolari con un numero dispari di lati????? Sono riuscito a trovare una distanza che ha come intorno dei triangoli equilateri e dei pentagoni non regolari" però non riesco ad estenderla ad un numero arbitrario dispari di lati. Non ho mai letto niente del genere su internet e manco sui libri. Da quello che ho visto bisogna cercare di combinare valori assoluti con termini lineari in x e y. Qualche dritta???
Risposte
Sono curioso di vedere le distanze che hai trovato per triangoli e pentagoni.
Richiamo qui una construzione che invece funziona nel caso di poligoni regolari con un numero pari di lati.
Considera un insieme compatto convesso \(K\subset\mathbb{R}^n\) che contenga l'origine come punto interno e che sia simmetrico rispetto all'origine. (In questa classe rientrano, nel caso \(n=2\), i poligoni regolari con un numero pari di lati, centrati nell'origine.)
Se definisci la funzione di gauge
\[
\rho(\xi) := \min\{ t\geq 0 :\ \xi \in t K\}
\]
allora la funzione \(d(x,y) := \rho(x-y)\) dovrebbe fare al caso tuo.
Richiamo qui una construzione che invece funziona nel caso di poligoni regolari con un numero pari di lati.
Considera un insieme compatto convesso \(K\subset\mathbb{R}^n\) che contenga l'origine come punto interno e che sia simmetrico rispetto all'origine. (In questa classe rientrano, nel caso \(n=2\), i poligoni regolari con un numero pari di lati, centrati nell'origine.)
Se definisci la funzione di gauge
\[
\rho(\xi) := \min\{ t\geq 0 :\ \xi \in t K\}
\]
allora la funzione \(d(x,y) := \rho(x-y)\) dovrebbe fare al caso tuo.
Scusate, ma sbaglio o non esiste alcuna distanza "sensata" che faccia questo gioco?
Mi pare strano per mancanza di simmetria...
Mi pare strano per mancanza di simmetria...
L'equazione che ho inventato per avere triangoli equilateri è:
$|(y-y_1)/2|sin(pi/3)+|cos(pi/(3))(x-x_1)+|(y-y_1)/(2)|*sin(pi/(3))-(r)/(8)|-3/(8)* r= 0$
$r$ indica la distanza del baricentro da uno dei tre vertici, $(x_1,y_1)$ indica il baricentro del triangolo ed esso ha un vertice nell'asse x nel caso si prenda il baricentro come l'origine degli assi (ponendo $(x_1,y_1)=(0,0)$).
Effettivamente quella che ho scritto non è una distanza dato che non rispetta $d(\underline(x),\underline(y))=d(\underline(y),\underline(x))$. Però il mio intento è quello di rappresentare i poligoni con un numero dispari di lati attraverso equazioni variando solamente dei parametri. Pazienza se non sono distanze
Questo è un puro scopo "artistico". Quella per il pentagono manco la riporto perché è una cosa simile a questa e in più manco esce regolare.
$|(y-y_1)/2|sin(pi/3)+|cos(pi/(3))(x-x_1)+|(y-y_1)/(2)|*sin(pi/(3))-(r)/(8)|-3/(8)* r= 0$
$r$ indica la distanza del baricentro da uno dei tre vertici, $(x_1,y_1)$ indica il baricentro del triangolo ed esso ha un vertice nell'asse x nel caso si prenda il baricentro come l'origine degli assi (ponendo $(x_1,y_1)=(0,0)$).
Effettivamente quella che ho scritto non è una distanza dato che non rispetta $d(\underline(x),\underline(y))=d(\underline(y),\underline(x))$. Però il mio intento è quello di rappresentare i poligoni con un numero dispari di lati attraverso equazioni variando solamente dei parametri. Pazienza se non sono distanze
Questo è un puro scopo "artistico". Quella per il pentagono manco la riporto perché è una cosa simile a questa e in più manco esce regolare.
"gugo82":
Scusate, ma sbaglio o non esiste alcuna distanza "sensata" che faccia questo gioco?
Mi pare strano per mancanza di simmetria...
Da qui nasceva la mia curiosità...
be' giustamente
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