Distanze nello spazio Euclideo
Dunque, il quesito di per sé non è molto complesso, ma mi è venuto in mente leggendo gli appunti di una studentessa che viene a fare ripetizioni da me. Il punto è questo: sappiamo che se siamo nello spazio Euclideo, identificato con $RR^3$, dati un punto $P(x_0,y_0,z_0)$ e un piano $\alpha:\ ax+by+cz+d=0$ la loro distanza è espressa dalla formula
$$d(\alpha,P)=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
Ora, sappiamo tutti che nello spazio Euclideo esistono altre distanze: punto-retta, retta-piano, retta-retta, piano-piano. Le ultime tre, valendo sono in condizioni particolari, avrebbero delle "formule" se vogliamo abbastanza immediate, mentre per la prima si conosce il "metodo" per determinare la distanza (si trova la retta per il punto ortogonale a quella data, le si intersecano, si trova il punto $H$ di intersezione, si calcola di stanza tra il punto dato e il punto $H$). Ora, secondo questi appunti, NON (è scritto in maiuscolo) esiste una formula per calcolare questa distanza.
Ora, posso immaginare che il docente abbia voluto sottolineare, in qualche modo, che è meglio conoscere il metodo piuttosto che una mera formula per seguire questo tipo di esercizio, ma mi sono chiesto: è vero che non esiste una formula chiusa per questa cosa? A mio parere, la risposta è NO: la formula esiste e, con un po' di sforzo, la si può calcolare. Dopo una ventina di minuti di calcoli ne ho tirata fuori una che, mi pare, corretta, in relazione alla direzione $v$ della retta data e al vettore $P-A$ che unisce il punto dal quale si vuole calcolare la distanza e un punto fissato $A$ per cui passa la retta (sono in pratica partito dalla forma parametrica della retta $x=A+vt$).
Il quesito è il seguente: qualcuno vuole provare a calcolare tale formula (devo essere sincero, in rete non l'ho trovata, ma se c'è, cancellate pure questo post), e magari fornire un metodo più semplice del mio (non è complicato ma è lungo) per determinala? Tra l'altro, al momento ho trovato la formula sono in relazione alla rappresentazione parametrica della rette e non quella cartesiana, e sinceramente ora come ora non so se sia possibile scriverne una sotto questa forma.
A voi la parola. Appena ho tempo posto la soluzione che ho trovato, comprensiva di calcoli.
$$d(\alpha,P)=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
Ora, sappiamo tutti che nello spazio Euclideo esistono altre distanze: punto-retta, retta-piano, retta-retta, piano-piano. Le ultime tre, valendo sono in condizioni particolari, avrebbero delle "formule" se vogliamo abbastanza immediate, mentre per la prima si conosce il "metodo" per determinare la distanza (si trova la retta per il punto ortogonale a quella data, le si intersecano, si trova il punto $H$ di intersezione, si calcola di stanza tra il punto dato e il punto $H$). Ora, secondo questi appunti, NON (è scritto in maiuscolo) esiste una formula per calcolare questa distanza.
Ora, posso immaginare che il docente abbia voluto sottolineare, in qualche modo, che è meglio conoscere il metodo piuttosto che una mera formula per seguire questo tipo di esercizio, ma mi sono chiesto: è vero che non esiste una formula chiusa per questa cosa? A mio parere, la risposta è NO: la formula esiste e, con un po' di sforzo, la si può calcolare. Dopo una ventina di minuti di calcoli ne ho tirata fuori una che, mi pare, corretta, in relazione alla direzione $v$ della retta data e al vettore $P-A$ che unisce il punto dal quale si vuole calcolare la distanza e un punto fissato $A$ per cui passa la retta (sono in pratica partito dalla forma parametrica della retta $x=A+vt$).
Il quesito è il seguente: qualcuno vuole provare a calcolare tale formula (devo essere sincero, in rete non l'ho trovata, ma se c'è, cancellate pure questo post), e magari fornire un metodo più semplice del mio (non è complicato ma è lungo) per determinala? Tra l'altro, al momento ho trovato la formula sono in relazione alla rappresentazione parametrica della rette e non quella cartesiana, e sinceramente ora come ora non so se sia possibile scriverne una sotto questa forma.
A voi la parola. Appena ho tempo posto la soluzione che ho trovato, comprensiva di calcoli.
Risposte
Non basta scrivere il problema di minimo per la distanza?
Minimizzando \(|P - x(t)|^2\) si trova (salvo errori)
\[
t = \frac{(P-A)\cdot v}{|v|^2}
\]
e, sostituendo, si ha
\[
d^2 = |P-A|^2 - \frac{[(P-A)\cdot v]^2}{|v|^2}\,.
\]
Minimizzando \(|P - x(t)|^2\) si trova (salvo errori)
\[
t = \frac{(P-A)\cdot v}{|v|^2}
\]
e, sostituendo, si ha
\[
d^2 = |P-A|^2 - \frac{[(P-A)\cdot v]^2}{|v|^2}\,.
\]
Sì, il risultato mi torna. Io avevo seguito un approccio "geometrico" (nel senso di usare gli strumenti noti alla ragazza che fa ripetizioni) per calcolare, facendo un ragionamento su come debba essere fatta la retta ortogonale (che poi, visto che negli esercizi pratici è quello che ti dicono di fare ti serve ance come esercizio), ma ovviamente questo è molto rapido. Tuttavia così non vedi la formula con il prodotto vettoriale che dicevo che, di nuovo, è qualcosa alla portata di chi sta iniziando a studiare le basi della geometria analitica (durante un corso universitario del genere non si mettono a parlarti di "minimizzare" distanze, in genere, soprattutto se parliamo di corsi tecnici).
In realtà la formula ha un'immediata interpretazione geometrica.
Se chiami \(Q\) il punto sulla retta che minimizza la distanza da \(P\), si tratta di applicare il teorema di Pitagora al triangolo di vertici \(A\), \(P\), \(Q\).
La lunghezza del segmento \(AQ\) la calcoli facendo il prodotto scalare fra \(P-A\) e \(A-Q\) (tale lunghezza al quadrato è esattamente il termine che compare a secondo membro col segno negativo).
Se chiami \(Q\) il punto sulla retta che minimizza la distanza da \(P\), si tratta di applicare il teorema di Pitagora al triangolo di vertici \(A\), \(P\), \(Q\).
La lunghezza del segmento \(AQ\) la calcoli facendo il prodotto scalare fra \(P-A\) e \(A-Q\) (tale lunghezza al quadrato è esattamente il termine che compare a secondo membro col segno negativo).
"Rigel":
In realtà la formula ha un'immediata interpretazione geometrica.
Se chiami \(Q\) il punto sulla retta che minimizza la distanza da \(P\), si tratta di applicare il teorema di Pitagora al triangolo di vertici \(A\), \(P\), \(Q\).
La lunghezza del segmento \(AQ\) la calcoli facendo il prodotto scalare fra \(P-A\) e \(A-Q\) (tale lunghezza al quadrato è esattamente il termine che compare a secondo membro col segno negativo).
Sì, ma infatti su quello non ci sono problemi. Intendevo la faccenda del "minimizzare" le distanze che a chi ha appena iniziato un corso, peraltro molto tecnico,non puoi dare in pasto così, soprattutto se sono argomenti non trattatati nel corso stesso.
Tra l'altro mi è venuta in mente un altra idea, di nuovo di carattere geometrico, ma molto più semplice del "calcolo brutale" che avevo fatto prima: presi due punti sulla retta (qualsiasi) disegno il parallelogramma che ha tre vertici coincidenti con questi due punti e con il punto da cui calcolare la distanza. Fatto questo, tale distanza è l'altezza del parallelogramma con lati i vettori formati da questi punti presi a due a due, e quindi basta fare un prodotto vettoriale e dividere per la lunghezza del vettore sulla retta per ottenere la distanza cercata.
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