Dimostrazione "elementare" del teorema di Apery

[dan952]

Teorema[Apery's theorem]
La costante $\zeta(3)$ è irrazionale.

Dimostrazione
Consideriamo la funzione integrale $F_{n,m} : \mathbb{R}^{+} \mapsto \mathbb{R}$ con $n,m \in \mathbb{N}$,
\begin{equation}
F_{n,m}(t):=\iint_{0}^{1} \frac{x^{n+t}y^{m+t}}{1-xy}dxdy
\end{equation}
Questa funzione è ben definita poiché l'integrale (1) converge per ogni $n,m$ e $t \geq 0$ infatti vale $0 $$\frac{d}{dt}F_{n,m}(t)= \frac{d}{dt}\iint_{0}^{1} \frac{x^{n+t}y^{m+t}}{1-xy}dxdy=\frac{d}{dt}\iint_{0}^{1}\lim_{N \rightarrow +\infty} x^{n+t}y^{m+t}\left( \sum_{k=1}^{N} (xy)^{k-1}+\frac{(xy)^N}{1-xy}\right)dxdy=\lim_{N \rightarrow +\infty} \frac{d}{dt}\iint_{0}^{1}x^{n+t}y^{m+t}\left( \sum_{k=1}^{N} (xy)^{k-1}+\frac{(xy)^N}{1-xy}\right)dxdy = \lim_{N \rightarrow +\infty} \frac{d}{dt} \sum_{k=1}^{N} \iint_{0}^{1}x^{n+t+k-1}y^{m+t+k-1}dxdy=\lim_{N \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{N} \frac{d}{dt}\iint_{0}^{1}x^{n+t+k-1}y^{m+t+k-1}dxdy$$
se $n=m$ si ha
$$\lim_{N \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{N} \frac{d}{dt}\frac{1}{(n+t+k)^2}= \lim_{N \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{N} \frac{-2}{(n+t+k)^3}$$
quindi $\frac{d}{dt}F_{n,n}|_{t=0}=-2(\zeta(3)-\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^3})$.

Altrimenti, se $m \not = n$, osservando inoltre che $\frac{m-n}{(n+t+k)(m+t+k)}=\frac{1}{n+t+k}-\frac{1}{m+t+k}$, abbiamo
$$\lim_{N \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{N} \frac{d}{dt}\frac{1}{(n+t+k)(m+t+k)}=\lim_{N \rightarrow +\infty} \frac{1}{m-n} \sum_{k=1}^{N}\left[ \frac{1}{(m+t+k)^2}-\frac{1}{(n+t+k)^2}\right]=-\frac{1}{m-n}\sum_{k=\min(m+1,n+1)}^{\max(m,n)}\frac{1}{(k+t)^2}$$
dunque $\frac{d}{dt}F_{n,m}|_{t=0} \in \mathbb{Q}$.

Definiamo
\begin{equation}
A_n:=\iint_{0}^{1} \frac{P_n(x)P_n(y)}{1-xy}\log (xy) dxdy
\end{equation}
dove $P_n(x):=\frac{1}{n!}\frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^n(1-x)^n)$ è il polinomio di Legendre di grado $n$. Dal fatto che $\frac{d}{dt}F_{n,m}|_{t=0}=\iint_{0}^{1} \frac{x^{n}y^{m}}{1-xy}\log (xy)dxdy$ e supponendo $\zeta(3) \in \mathbb{Q}$ segue che $d_n^3A_n \in \mathbb{Z}$ per $n$ sufficientemente grande, dove $d_n$ è il minimo comune multiplo dei primi $n$ numberi. Dunque dalla relazione $\int_{0}^{1} \frac{1}{1-(1-xy)z}dz=\frac{\log(xy)}{xy-1}$ e integrando per parti rispetto a $x$ otteniamo
$$|d_n^3A_n|=|d_n^3 \iint_{0}^{1} \frac{P_n(x)P_n(y)}{1-xy}\log (xy) dxdy|= |d_n^3 \iiint_{0}^{1} \frac{P_n(x)P_n(y)}{(1-xy)z}dxdydz|=|d_n^3 \iiint_{0}^{1} \frac{x^n(1-x)^nP_n(y)y^nz^n}{(1-(1-xy)z)^{n+1}}dxdydz|$$
Sostituiamo $w=\frac{1-z}{1-(1-xy)z}$ e integriamo per parti rispetto a $y$
$$|d_n^3 \iiint_{0}^{1} \frac{(1-x)^nP_n(y)(1-w)^n}{1-(1-xy)w}dxdydw|=$$
$$= |d_n^3 \iiint_{0}^{1} \frac{(1-x)^nx^n(1-y)^ny^n(1-w)^nw^n}{(1-(1-xy)w)^{n+1}}dxdydw|$$
il massimo di $\frac{x(1-x)y(1-y)w(1-w)}{1-(1-xy)w}$ in $[0,1] \times [0,1] \times [0,1]$ è $(\sqrt{2}-1)^4$ inoltre vale $d_n < 3^n$, quindi
\begin{equation}
|d_n^3A_n|<27^n\iiint_{0}^{1}(\sqrt{2}-1)^{4n}\frac{1}{1-(1-xy)w}dxdydw=\left[27(\sqrt{2}-1)^4\right]^n\zeta(3)
\end{equation}
l'ultimo membro di (3) è $<1$ per $n$ sufficientemente grande.

Salvo calcoli sbagliati.