Dimostrazione di sequenza impossibile
buongiorno a tutti!
qualcuno può aiutarmi? sto facendo ricerche su una nota congettura (per puro diletto, non sono studente né matematico), e mi sono bloccata perché avrei bisogno della dimostrazione formale di quanto segue:
siano a, b, c, d, e, f, ..... ecc... interi positivi quindi appartenenti ad N tali che:
(8a - 1) + 4a = 12a - 1 = 8b - 1 ;
(8b - 1) + 4b = 12b - 1 = 8c - 1 ;
(8c - 1) + 4c = 12c - 1 = 8d - 1 ;
(8d - 1) + 4d = 12d - 1 = 8f - 1 ; e così via...
poiché ogni termine alfabetico vale i 3/2 del precedente, a livello intuitivo mi sembra evidente che una sequenza simile è impossibile che prosegua così all'infinito e che prima o poi il valore alfabetico diventi decimale, oppure, per mantenerlo intero, il risultato dell'ultima equazione sia pari e non dispari... non so se sono riuscita a spiegarmi bene... ma come si fa a darne una dimostrazione formale ed ineccepibile?
grazie!!
saluti e buon week end!
qualcuno può aiutarmi? sto facendo ricerche su una nota congettura (per puro diletto, non sono studente né matematico), e mi sono bloccata perché avrei bisogno della dimostrazione formale di quanto segue:
siano a, b, c, d, e, f, ..... ecc... interi positivi quindi appartenenti ad N tali che:
(8a - 1) + 4a = 12a - 1 = 8b - 1 ;
(8b - 1) + 4b = 12b - 1 = 8c - 1 ;
(8c - 1) + 4c = 12c - 1 = 8d - 1 ;
(8d - 1) + 4d = 12d - 1 = 8f - 1 ; e così via...
poiché ogni termine alfabetico vale i 3/2 del precedente, a livello intuitivo mi sembra evidente che una sequenza simile è impossibile che prosegua così all'infinito e che prima o poi il valore alfabetico diventi decimale, oppure, per mantenerlo intero, il risultato dell'ultima equazione sia pari e non dispari... non so se sono riuscita a spiegarmi bene... ma come si fa a darne una dimostrazione formale ed ineccepibile?
grazie!!
saluti e buon week end!
Risposte
Facendo un po' di conti, per avere la sequenza più lunga possibile, $a$ deve essere una potenza di $2$.
Più è alto l'esponente, più è lunga la sequenza.
Ad esempio se $a=2^3=8$ abbiamo b=12 c=18 d=27
Ovvero con esponente 3, abbiamo aggiunto 3 elementi.
Con esponente n, aggiungeremo n elementi
Se mettiamo come esponente infinito, aggiungeremo infiniti elementi.
Però non so se era questo che chiedevi....
Più è alto l'esponente, più è lunga la sequenza.
Ad esempio se $a=2^3=8$ abbiamo b=12 c=18 d=27
Ovvero con esponente 3, abbiamo aggiunto 3 elementi.
Con esponente n, aggiungeremo n elementi
Se mettiamo come esponente infinito, aggiungeremo infiniti elementi.
Però non so se era questo che chiedevi....
grazie ma infatti non era quello il problema, io so già che la sequenza più lunga possibile parte da un numero che è dato dalla formula
(2^n * 10^m) - 1
dove n + m = q
e dove q rappresenta l'esponente di una potenza di 3 latente nel primo numero della sequenza che potrebbe anche essere scritto come
(2^n * 3^0 * 10^m) - 1
e che ad ogni passaggio successivo l'esponente n di 2 decresce di 1 mentre l'esponente 0 di 3 aumenta di 1, e quando l'esponente di 3 diventa q (cioè n+m) l'esponente di 10 diventa 1/2 e l'esponente di 2 raggiunge, decrescendo, il valore 0...
cioè, l'ultimo numero della sequenza è
(2^0 * 3^q * 5) - 1
che è pari e quindi non soddisfa la condizione iniziale dove tutti i numeri della "sequenza impossibile" devono essere dispari...
ma tutto questo non credo che sia una dimostrazione formale, (se lo è allora vuol dire che non ho capito niente del metodo di induzione che sembra essere l'unico modo accettato come dimostrazione dai matematici "veri"...) e invece io avrei bisogno che l'impossibilità della sequenza proposta venga dimostrato in maniera formale e perciò inoppugnabile... altrimenti mi crolla tutta l'impalcatura che ho costruito tentando un approccio alternativo alla nota congettura che sto studiando... (che non dico quale per non creare preconcetti sulla soluzione del mio problema...
)
comunque grazie perché i tuoi conti sembrano confermare che la mia intuizione iniziale sia corretta, e spero che l'argomento possa suscitare interesse e partecipazione anche di altri iscritti di questo ottimo forum
perciò, qualsiasi altra idea affiori alla tua coscienza sia la benvenuta!
grazie ciao e buonanotte (sono le 3 del mattino ma la passione per la matematica è più forte del sonno!!!)
ciaoo
(2^n * 10^m) - 1
dove n + m = q
e dove q rappresenta l'esponente di una potenza di 3 latente nel primo numero della sequenza che potrebbe anche essere scritto come
(2^n * 3^0 * 10^m) - 1
e che ad ogni passaggio successivo l'esponente n di 2 decresce di 1 mentre l'esponente 0 di 3 aumenta di 1, e quando l'esponente di 3 diventa q (cioè n+m) l'esponente di 10 diventa 1/2 e l'esponente di 2 raggiunge, decrescendo, il valore 0...
cioè, l'ultimo numero della sequenza è
(2^0 * 3^q * 5) - 1
che è pari e quindi non soddisfa la condizione iniziale dove tutti i numeri della "sequenza impossibile" devono essere dispari...
ma tutto questo non credo che sia una dimostrazione formale, (se lo è allora vuol dire che non ho capito niente del metodo di induzione che sembra essere l'unico modo accettato come dimostrazione dai matematici "veri"...) e invece io avrei bisogno che l'impossibilità della sequenza proposta venga dimostrato in maniera formale e perciò inoppugnabile... altrimenti mi crolla tutta l'impalcatura che ho costruito tentando un approccio alternativo alla nota congettura che sto studiando... (che non dico quale per non creare preconcetti sulla soluzione del mio problema...
)comunque grazie perché i tuoi conti sembrano confermare che la mia intuizione iniziale sia corretta, e spero che l'argomento possa suscitare interesse e partecipazione anche di altri iscritti di questo ottimo forum
perciò, qualsiasi altra idea affiori alla tua coscienza sia la benvenuta!
grazie ciao e buonanotte (sono le 3 del mattino ma la passione per la matematica è più forte del sonno!!!)
ciaoo
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