Dimostrare che sen(p/4)=cos(p/4) con le serie numeriche

[balestra_romani]

Ciao,
Qualcuno saprebbe dimostrare che per n che tende ad infinito le serie numeriche del seno e del coseno tendono allo stesso valore senza tirare in ballo la circonferenza goniometrica?
Grazie

[Rigel1]

Mi viene in mente solo una dimostrazione indiretta, basata però sulla definizione per serie di esponenziale, seno e coseno in campo complesso.
Hai che
\[
\begin{align*}
i & = \exp(i\pi/2) = [\exp(i\pi/4)]^2 = [\cos(\pi / 4) + i \sin(\pi/4)]^2
\\ & = \cos^2(\pi / 4) + 2i \cos(\pi/4) \sin(\pi/4) - \sin^2(\pi/4),
\end{align*}
\]
da cui ricavi \( \cos^2(\pi / 4) - \sin^2(\pi / 4) = 0\).
Tieni conto che l'unica proprietà usata è, di fatto, \(e^z \cdot e^w = e^{z+w}\), che si dimostra usando il prodotto di Cauchy delle serie, e la definizione di \(\pi/2\) come primo zero reale positivo della funzione coseno (vedi Rudin, Principles, pp. 178-184).

[balestra_romani]

ho capito, non era quello che cercavo ma pazienza, non credo che si possa fare diversamente

resto però curioso di capire perché sui libri di testo manchi una dimostrazione del fatto che:

$ sen(pi /2)=1/sqrt(2) $

usando appunto qualche teorema sulle serie numeriche

grazie comunque per la tua dimostrazione indiretta