Dimostrabilità della indimostrabilità

[pr0gma]

Salve, è il mio primo post, e spero di non esordire con una stupidata.
Mi sono recentemente appassionato alle vicende legate al quinto postulato di Euclide, e mi ha molto stupito come la sua indimostrabilità abbia afflitto ed esasperato molti matematici, molti fra questi annoverabili fra i "più grandi di sempre".
Ragionando sulla questione, sono arrivato a chiedermi: è dimostrato che senza assiomi è impossibile dimostrare, o è anche questo un assioma?

La domanda può sembrare fine a se stessa, ma ciò non toglie che la cosa mi intrighi. Spero che abbiate voglia di rispondermi!

[Sk_Anonymous]

C'è una pagina accessibile a chiunque su Wikipedia, al riguardo. Inoltre credo che la questione sia già stata trattata qui sul forum (qui e qui, per esempio).

[pr0gma]

Ciao, la mia domanda non riguarda il postulato di Euclide nello specifico, ma la possibilità eventuale di dimostrare che senza gli assiomi non si può dimostrare.

[Sk_Anonymous]

Un commento a latere: queste questioni, a mio avviso, sono molto più delicate di quanto non sembrino. La Proof theory è una branca seria della Matematica, quindi inviterei ad andare un po' con i piedi di piombo - questo per evitare il sorgere di discussioni ridicole, come è successo in passato.

Tornando a noi: senza "quali assiomi"? Gli altri quattro? Come si può leggere nella pagina Wiki in inglese,

[...] For two thousand years, many attempts were made to prove the parallel postulate using Euclid's first four postulates. The main reason that such a proof was so highly sought after was that, unlike the first four postulates, the parallel postulate isn't self-evident. If the order the postulates were listed in the Elements is significant, it indicates that Euclid included this postulate only when he realised he could not prove it or proceed without it. Many attempts were made to prove the fifth postulate from the other four, many of them being accepted as proofs for long periods of time until the mistake was found. Invariably the mistake was assuming some 'obvious' property which turned out to be equivalent to the fifth postulate (Playfair's axiom). Although known from the time of Proclus, this became known as Playfair's Axiom after John Playfair wrote a famous commentary on Euclid in 1795 in which he proposed replacing Euclid's fifth postulate by his own axiom.

Interessante anche il seguente breve estratto da La prova di Gödel di Nagel e Newman:

Fu soltanto nel secolo diciannovesimo che si dimostrò, specialmente attraverso gli studi di Gauss, di Bolyai e di Lobacevskij, l'impossibilità di dedurre l'assioma delle parallele dagli altri assiomi. Questo risultato fu della massima importanza concettuale. In primo luogo, esso richiamò l'attenzione, in maniera impressionante, sul fatto che è possibile dare una dimostrazione dell'impossibilità di dimostrare certe proposizioni all'interno di un dato sistema. [...]