Densità topologica e Densità algebrica.
Esistono (almeno) due definizioni distinte di densità; una riguarda gli spazi ordinati, l'altra gli spazi topologici.
se $(X,<)$ è un'insieme totalmente ordinato, un sottoinsieme $S$ è denso se per ogni $a
definizione: sia $(X,<,T)$ un'insieme totalmente ordinato su cui abbiamo definito una topologia; $(X,<,T)$ è uno "spazio preciso" se vale:
[$S$ denso in $(X,<)$] se e solo se [$S$ denso in $(X,T)$]
1) verificare che la topologia d'ordine (http://it.wikipedia.org/wiki/Ordine_tot ... _di_ordine) definita su un insieme ordinato $X$ lo rende uno spazio preciso. (facile)
2)dimostrare che, dato un insieme ordinato $(X,<)$, tra tutte le topologie $T$ che rendono $(X,<,T)$ uno spazio preciso ve ne esiste una meno fine di tutte.
(di questo fatto ho una dimostrazione personale,che ovviamente potrebbe essere sbagliata
inotre utilizzo AC,e non sono sicuro che sia necessario)
EDIT: la dimostrazione era appunto errata.
3) dimostrare o confutare che tale topologia minimale è la topologia d'ordine(questa è solo una mia congettura,e mi farebbe piacere sentire l'opinione di qualcun'altro)
enjoy!
se $(X,<)$ è un'insieme totalmente ordinato, un sottoinsieme $S$ è denso se per ogni $a
definizione: sia $(X,<,T)$ un'insieme totalmente ordinato su cui abbiamo definito una topologia; $(X,<,T)$ è uno "spazio preciso" se vale:
[$S$ denso in $(X,<)$] se e solo se [$S$ denso in $(X,T)$]
1) verificare che la topologia d'ordine (http://it.wikipedia.org/wiki/Ordine_tot ... _di_ordine) definita su un insieme ordinato $X$ lo rende uno spazio preciso. (facile)
2)dimostrare che, dato un insieme ordinato $(X,<)$, tra tutte le topologie $T$ che rendono $(X,<,T)$ uno spazio preciso ve ne esiste una meno fine di tutte.
(di questo fatto ho una dimostrazione personale,che ovviamente potrebbe essere sbagliata
inotre utilizzo AC,e non sono sicuro che sia necessario)EDIT: la dimostrazione era appunto errata.
3) dimostrare o confutare che tale topologia minimale è la topologia d'ordine(questa è solo una mia congettura,e mi farebbe piacere sentire l'opinione di qualcun'altro)
enjoy!
Risposte
2) l'intersezione di tutte le topologie precise? A occhio mi pare che la proprieta' di essere precisa sia chiusa per intersezioni arbitrarie.
"Valerio Capraro":
2) l'intersezione di tutte le topologie precise? A occhio mi pare che la proprieta' di essere precisa sia chiusa per intersezioni arbitrarie.
io lo avevo dimostrato esattamente cosi,prima di accorgermi che la mia dimostrazione era sbagliata
comunque non userebbe AC questo ragionamento.
Perche' e' sbagliata? Ma e' sbagliato il procedimento o proprio l'affermazione?
P.s. Sia $\mathcal F$ la famiglia delle topologie precise e $\tau$ l'intersezione di tutte le topologie in $\mathcal F$. Con cio' voglio dire che un insieme e' aperto se e solo se e' aperto in tutte le topologie in $\mathcal F$. Dimostro che $\tau\inamthcal F$ (in tal caso e' evidente che sia quella minimale). Sia $Y$ denso in $X$ rispetto a $<$. Sia $A$ un aperto in $\tau$, dunque $A$ e' aperto in tutte le topologie e, siccome sono precise, $A$ interseca $Y$. Viceversa, sia $Y$ denso in $X$ rispetto a $\tau$ e siano $x
PPs. l'unica cosa che non mi convince del tutto e' che $(x,y)$ sia aperto in tutte le topologie precise. Non mi convince, ma mi suona abbastanza plausibile
Perche' e' sbagliata? Ma e' sbagliato il procedimento o proprio l'affermazione?
P.s. Sia $\mathcal F$ la famiglia delle topologie precise e $\tau$ l'intersezione di tutte le topologie in $\mathcal F$. Con cio' voglio dire che un insieme e' aperto se e solo se e' aperto in tutte le topologie in $\mathcal F$. Dimostro che $\tau\inamthcal F$ (in tal caso e' evidente che sia quella minimale). Sia $Y$ denso in $X$ rispetto a $<$. Sia $A$ un aperto in $\tau$, dunque $A$ e' aperto in tutte le topologie e, siccome sono precise, $A$ interseca $Y$. Viceversa, sia $Y$ denso in $X$ rispetto a $\tau$ e siano $x
PPs. l'unica cosa che non mi convince del tutto e' che $(x,y)$ sia aperto in tutte le topologie precise. Non mi convince, ma mi suona abbastanza plausibile
"Valerio Capraro":
comunque non userebbe AC questo ragionamento.
Perche' e' sbagliata? Ma e' sbagliato il procedimento o proprio l'affermazione?
non so se l'affermazione sia giusta o sbagliata,era sbagliato il mio procedimento,errori di insiemistica.
AC lo usavo in un altro passaggio(considera che io identificavo gli insiemi densi come le immagini di funzioni di scelta definite sulla famiglia degli aperti)
"Valerio Capraro":
PPs. l'unica cosa che non mi convince del tutto e' che $(x,y)$ sia aperto in tutte le topologie precise. Non mi convince, ma mi suona abbastanza plausibile
purtroppo,è esattamente questo quello che va dimostrato! cioè che la topologia d'ordine(quella generata dagli aperti del tipo $(a,b)$ descritti) sia contenuta in ogni topologia precisa.
però mi fa piacere vedere che anche secondo te questa congettura è corretta, vuol dire che non sono del tutto scemo XD
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