Densità di un sottoinsieme in $RR$ (dal Prodi)

[Paolo902]

Problema. Siano $alpha,beta \in \RR$ tali che $\alpha/\beta \in \RR setminus \QQ$. Dimostrare che l'insieme $I={m\alpha+n\beta | m,n \in ZZ}$ è denso in $RR$.

Come da titolo, la fonte è il Prodi, Analisi Matematica (Bollati Boringhieri).
Il buon Prodi dà anche qualche suggerimento per la soluzione, ma non sono ancora arrivato a scriverne una intera.

L'autore suggerisce di fissare un intero positivo $N$ e di considerare l'insieme $I_{N}={m\alpha+n\beta " con " |m| \le N, |n| \le N}$. Fa notare che in $I_N$ gli elementi sono tutti distinti (?), e poi fa dimostrare che $I \subseteq [-N(|alpha|+|beta|), N(|\alpha|+|beta|)]$. A questo punto, dice che sicuramente ci sono due elementi che distano meno di $(|alpha|+|beta|)/(2(N+1))$ (francamente, mi sfugge il perché) e suggerisce di prenderne la differenza...

Diciamo che la prima parte l'ho più o meno capita, arrivo a dimostrare che la differenza fra due elementi di $I_N$ è al più $2N(|\alpha|+|beta|)$: però non so, mi sfugge l'impostazione generale della soluzione, come dire, non capisco come intende procedere l'autore.

Qualcuno ha la pazienza e la voglia di darmi una mano, per piacere?

Osservo, infine, che il risultato mi pare comunque abbastanza profondo: praticamente, stiamo asserendo che $ZZ[\sqrt{2}]$ (ad esempio) è denso in $RR$. E dire che stupidamente non avevo mai pensato di mettere una topologia su insiemi del genere. Tra l'altro, un rilancio interessante sarebbe quello di considerare gli interi di Gauss, $ZZ$, ma questa è un'altra storia...

[Studente Anonimo]

Qui se n'era parlato

[Paolo902]

Grazie! Avevo fatto una ricerca sul forum ma non avevo trovato nulla!

[gugo82]

"Paolo90":

L'autore suggerisce di fissare un intero positivo $N$ e di considerare l'insieme $I_{N}={m\alpha+n\beta " con " |m| \le N, |n| \le N}$. Fa notare che in $I_N$ gli elementi sono tutti distinti (?), e poi fa dimostrare che $I \subseteq [-N(|alpha|+|beta|), N(|\alpha|+|beta|)]$. A questo punto, dice che sicuramente ci sono due elementi che distano meno di $(|alpha|+|beta|)/(2(N+1))$ (francamente, mi sfugge il perché) [...]

Che gli elementi siano distinti e che il modulo di ognuno di essi non ecceda \(N(|\alpha|+|\beta|)\) è evidente (segue dalle ipotesi su \(\alpha, \beta\) e dalla disuguaglianza triangolare).

Per quanto riguarda l'affermazione sulla distanza, basta ragionare per assurdo.
In \(I_N\) ci sono esattamente \(P=(2N+1)^2\) elementi distinti i quali possono essere ordinati in maniera crescente, \(I_N=\{x_k^N\}_{k=1,\ldots, \leq P}\); supponiamo per assurdo che ogni coppia di elementi di \(I_N\) disti più di \(\frac{\alpha+\beta}{2(N+1)}\) (qui e nel seguito considero, senza ledere la generalità, \(\alpha, \beta>0\)) e notiamo che:
\[\begin{split} \text{diam} I_N &=x_{P}^N-x_1^N \\ &=\sum_{k=1}^{P-1} (x_{k+1}^N-x_k^N)\\ &> \frac{\alpha+\beta}{2(N+1)}\ (P-1) \\ &= \frac{\alpha+\beta}{2(N+1)}\ 4N(N+1) \\ &= 2N(\alpha +\beta)\; ,\end{split}\]
il che è assurdo perchè \(I_N\) è contenuto in un intervallo di diametro uguale a \(2N(\alpha+\beta)\) ed il diametro è una funzione crescente (nel senso che risulta \(A\subseteq B\ \Rightarrow\ \text{diam} A\leq \text{diam} B\)).
Conseguentemente, esistono sempre \(\xi, \eta\in I_N\) tali che \(|\xi-\eta|\leq \frac{\alpha+\beta}{2(N+1)}\).

Per il resto, credo proprio che le intenzioni di Prodi fossero quelle scritte da Martino nel post che ha segnalato.

[Principe2]

Magari mi sbaglio, ma non mi sembra tanto profondo: basta osservare che dato un numero razionale $\frac{p}{q}$ ne esiste un altro $\frac{m}{n}$ tale che la loro differenza sia arbitrariamente vicina a $\frac{\alpha}{\beta}$. Insomma ha la stessa profondita' del fatto che sia i razionali che gli irrazionali sono densi nei reali.

Questo mi ricorda quelle orbite che si studiano in sistemi dinamici...

[Paolo902]

Anzitutto, ringrazio tutti per le risposte. Ho pensato ancora un po' al problema, ma mi resta qualche perplessità.
Mi è abbastanza chiaro il procedimento di Martino (ovviamente non mi sarebbe mai venuto in mente), ma non vedo ancora il nesso con quello che dice Prodi.

@ gugo:

"gugo82":

Che gli elementi siano distinti e che il modulo di ognuno di essi non ecceda \(N(|\alpha|+|\beta|)\) è evidente (segue dalle ipotesi su \(\alpha, \beta\) e dalla disuguaglianza triangolare).

Sì, esatto, fin qui ci ero arrivato, proprio usando quello che suggerisci.

"gugo82":

Per quanto riguarda l'affermazione sulla distanza, basta ragionare per assurdo.
In \(I_N\) ci sono esattamente \(P=(2N+1)^2\) elementi distinti i quali possono essere ordinati in maniera crescente, \(I_N=\{x_k^N\}_{k=1,\ldots, \leq P}\); supponiamo per assurdo che ogni coppia di elementi di \(I_N\) disti più di \(\frac{\alpha+\beta}{2(N+1)}\) (qui e nel seguito considero, senza ledere la generalità, \(\alpha, \beta>0\)) e notiamo che:
\[\begin{split} \text{diam} I_N &=x_{P}^N-x_1^N \\ &=\sum_{k=1}^{P-1} (x_{k+1}^N-x_k^N)\\ &> \frac{\alpha+\beta}{2(N+1)}\ (P-1) \\ &= \frac{\alpha+\beta}{2(N+1)}\ 4N(N+1) \\ &= 2N(\alpha +\beta)\; ,\end{split}\]
il che è assurdo perchè \(I_N\) è contenuto in un intervallo di diametro uguale a \(2N(\alpha+\beta)\) ed il diametro è una funzione crescente (nel senso che risulta \(A\subseteq B\ \Rightarrow\ \text{diam} A\leq \text{diam} B\)).
Conseguentemente, esistono sempre \(\xi, \eta\in I_N\) tali che \(|\xi-\eta|\leq \frac{\alpha+\beta}{2(N+1)}\).

Per il resto, credo proprio che le intenzioni di Prodi fossero quelle scritte da Martino nel post che ha segnalato.

Da scemo, mi ero dimenticato che avevo un numero finito di elementi nell'insieme e potevo contarli! Ora ho capito da dove salta fuori l'affermazione sulla distanza; quello che però mi è ancora oscuro è come dedurne la densità. Prodi dice di considerare la differenza di quei due elementi la cui distanza è inferiore al valore trovato... Boh, avrò il salame davanti agli occhi.

Comunque, gugo, ti ringrazio, come al solito, per il tuo intervento e per le tue spiegazioni.

@ Valerio:

"Valerio Capraro":Magari mi sbaglio, ma non mi sembra tanto profondo: basta osservare che dato un numero razionale $\frac{p}{q}$ ne esiste un altro $\frac{m}{n}$ tale che la loro differenza sia arbitrariamente vicina a $\frac{\alpha}{\beta}$. Insomma ha la stessa profondita' del fatto che sia i razionali che gli irrazionali sono densi nei reali.

Questo mi ricorda quelle orbite che si studiano in sistemi dinamici...

Sì, riflettendoci concordo; ha la stessa profondità della densità di $QQ$ e $RR setminus QQ$ in $RR$. E' che mi piaceva pensare alla topologia su $ZZ[sqrt2]$

Non mi è chiaro, tuttavia, il legame a cui alludi con i sistemi dinamici: posso chiederti che cosa intendi?

Vi ringrazio

[Principe2]

Il caso piu' semplice dovrebbe essere il seguente:
fissa $\theta\in[0,2\pi)$ incommensurabile con $\pi$. Prendi il punto della circonferenza goniometrica definito dall'angolo $\theta$. Fai girare il punto sulla corconferenza facendogli compiere ad ogni istante un salto di un angolo $\theta$. Allora questa orbita NON e' periodica e anzi e' densa nella circonferenza.

Non mi ricordo come si chiamano.. c'e' qualcosa con "diofantino"... le ho studiate ormai parecchi anni fa queste cose.

[dissonance]

"Valerio Capraro":Non mi ricordo come si chiamano.. c'e' qualcosa con "diofantino"... le ho studiate ormai parecchi anni fa queste cose.

Alla SMI di Perugia da cui sono appena tornato (a proposito! Ciao a tutti!), nel corso di PDE, si incontrava questo risultato col nome di lemma di Kronecker-Weyl. L'enunciato era un po' diverso:

Sia \(m \) un numero incommensurabile con \(\pi\). Allora per ogni \(\theta_1, \theta_2 \in [0, 2\pi)\) esiste una successione \(s_n \to \infty\) tale che \(s_n \to \theta_1, ms_n \to \theta_2 \) modulo \(2\pi\).

E in effetti, come diceva ubermensch, queste cose trovano applicazione nel campo dei sistemi dinamici (di cui sono un profano assoluto, quindi vi prego di correggere eventuali miei strafalcioni). Propongo un esempio che mi è piaciuto molto.

Consideriamo la funzione \( f(t)=\sin(t),\ t \in \mathbb{R}\). L'insieme delle traslazioni \(\{f( \cdot + s) \mid s \in \mathbb{R}\}\) è chiuso (anzi, compatto) in \(C(\mathbb{R})\) rispetto alla convergenza uniforme sui compatti, e precisamente è omeomorfo ad una circonferenza. Questo è chiaro: \(\sin\) è una funzione periodica, quindi prendendone traslazioni prima o poi si tornerà al punto di partenza. Lo stesso fenomeno si verifica con la funzione \(g(t)=\sin(t)+\sin(2t)\): si tratta sempre di una funzione periodica, anche se di periodo più lungo, e quindi non ci sono differenze sostanziali.

Ma consideriamo ora \(h(t)=\sin(t)+\sin(\sqrt{2}t)\). Qui cambia tutto. Se si prendono le traslazioni \(\{h(t+s) \mid s \in \mathbb{R}\}\) non si ottiene più un insieme chiuso: infatti ciò che si ottiene è (a meno di omeomorfismi) un sottoinsieme denso del toro 2-dimensionale: Link: Kronecker winding.

E questo è tutto quello che so. Lo cito perché, nonostante io non ne capisca nulla, mi pare interessante osservare questo punto di contatto tra la teoria delle equazioni differenziali, la topologia algebrica e la teoria dei numeri.