Definizione alternativa: funzione di Mangoldt

[dan952]

Definizione. La funzione di Mangoldt $\Lambda: NN^{\ast} \mapsto RR$, è definita come:
$\Lambda(n)={(\log p\ se\ \exists k \in NN^{\ast}\ t.c.\ n=p^k),(0):}$

Definizione. L'$n$-esimo polinomio ciclotomico possiede tutte e sole le radici primitive $n$-esime dell'unità. Cioè
$$\Phi_n(x)=(x-\zeta_1)(x-\zeta_2) \cdots (x-\zeta_{\varphi(n)})$$

Dimostrare che $\Lambda(n)=\log \Phi_n(1)$.

[Vincent46]

"dan95":Definizione. La funzione di Mangoldt $\Lambda: NN^{\ast} \mapsto RR$, è definita come:
$\Lambda(n)={(\log p\ se\ \exists k \in NN^{\ast}\ t.c.\ n=p^k),(0):}$

Definizione. L'$n$-esimo polinomio ciclotomico possiede tutte e sole le radici primitive $n$-esime dell'unità. Cioè
$$\Phi_n(x)=(x-\zeta_1)(x-\zeta_2) \cdots (x-\zeta_{\varphi(n)})$$

Dimostrare che $\Lambda(n)=\log \Phi_n(1)$.

Faccio notare che per $n=1$ l'identità non è verificata, perciò bisogna supporre $n>1$.

È noto che vale
$$(x^n-1)=\prod_{d|n} \Phi_d(x) \ ,$$
da cui la formula induttiva per l'$n$-esimo polinomio ciclotomico:
$$ \Phi_n(x)=\frac{x^n-1}{\prod_{d|n, \ d \ne n} \Phi_d(x)} \ . $$
Ora, l'esercizio chiede di dimostrare due cose:
$A)$ $\Phi_{p^k}(1)=p$ per tutti i primi $p$ e tutti i naturali positivi $k$;
$B)$ $\Phi_n(1)=1$ se $n$ non si può scrivere nella forma di cui sopra.

Cominciamo a dimostrare la parte $A$. Si ha che
$$x^{p^h}-1=\Phi_1 \Phi_p ... \Phi_{p^h} \ ,$$
da cui
$$\Phi_{p^h} = \frac{x^{p^h}-1}{\Phi_1 \Phi_p ... \Phi_{p^{h-1}}}=\frac{x^{p^h}-1}{x^{p^{h-1}}-1}=1+x^{p^{h-1}}+...(x^{p^{h-1}})^{p-1} \ ,$$
e calcolandolo in $1$ si ottiene la tesi.

Dimostriamo la parte $B$. Si procede per induzione. Per $n=6$, il più piccolo intero maggiore di $1$ che non è potenza di un primo, la formula è vera, perché $\Phi_6(x)=x^2-x+1$. Ora consideriamo un qualsiasi numero naturale non nella forma di cui sopra, cioé
$$n=\prod_{i=1}^{m}p_i^{\alpha_i} \ ,$$
e supponiamo che la tesi valga per ogni $m$ della forma richiesta che sia minore di $n$.
Vogliamo applicare la formula induttiva. Notiamo però, preliminarmente, che a secondo membro è possibile semplificare un fattore $x-1$ dalla frazione (a numeratore un tale fattore ovviamente esiste sempre, e, riguardo al denominatore, bisogna ricordarsi che $\Phi_1(x)=x-1$). Allora si ottiene
$$\Phi_n(x)=\frac{1+x+...+x^{n-1}}{\prod_{d|n, d \ne 1,n} \Phi_d(x)} \ .$$
Quando calcolato in $x=1$, il numeratore è uguale a $n$. Per quanto riguarda il denominatore, ci sono un certo numero di fattori. Per ipotesi induttiva, tutti i polinomi ciclotomici di ordine che non è potenza di un primo valgono $1$ quando calcolati in $x=1$. Per la parte $A$, ogni polinomio di ordine $p_i^h$ varrà invece $p_i$; e, per ogni $p_i$ che divide $n$, ci sono $\alpha_i$ polinomi di questo tipo. Perciò l'identità precedente diventa
$$ \Phi_n(1)=\frac{n}{\prod_{i=1}^{m}p_i^{\alpha_i}} = 1 \ ,$$
e la tesi è dimostrata.

[dan952]

Grazie per l'osservazione/dimenticanza, talvolta certe cose le ometto perché mi sembrano ovvie altre perché mi dimentico. La soluzione non mi si mostra ancora in maniera leggibile a causa della lenta connessione.

[dan952]

Per il caso B puoi calcolare il limite $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^n-1}{x-1}=n$ e hai concluso.

[Vincent46]

"dan95":Per il caso B puoi calcolare il limite $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^n-1}{x-1}=n$ e hai concluso.

Come? Mi viene in mente solo un processo induttivo, che però è abbastanza analogo a quello che ho scritto sopra.

"dan95":Grazie per l'osservazione/dimenticanza, talvolta certe cose le ometto perché mi sembrano ovvie altre perché mi dimentico. La soluzione non mi si mostra ancora in maniera leggibile a causa della lenta connessione.

Ci mancherebbe, sono il primo a essere super distratto (Anche nella vita, a meno che non sia normale dimenticare l'insalata nel guardaroba ).

[dan952]

Ho sbagliato io

Comunque si può anche applicare la formula di inversione di Möbius alla somma:
$\log n=\sum_{d|n,d>1} \log \Phi_d(1)$