Definire la moltiplicazione sui numeri reali
Ciao ragazzi non so se è la sezione giusta per postare questo topic.
Allora sto cercando di definire la moltiplicazione sui numeri reali utilizzando le successioni di Cauchy.
Il ragionamento che sto seguendo è questo:
Siano $ r,s $ due numeri reali definiti per mezzo di due successioni di Cauchy $ {a_k}_(k\in N) $ per r e $ {b_k}_(k\in N) $ per s.
Si definisce il prodotto definito da $rs = [{a_k b_k}_(k\in N)]$.
Per la limitatezza delle successioni di Cauchy (e già qui non so bene cosa significa) esistono due razionali chiamati $ a $ maggiore in valore assoluto a tutti gli elementi della successione $ a_k $ e $ b $ maggiore in valore assoluto a tutti gli elementi della successione ${b_k}$.
Fissato $ \epsilon $ piccolo ma positivo sia $m$ l'indice corrispondente alla relazione $ |a_m - a_n | < \epsilon / 2b $ (per ogni
$n > m$) e $p$ l'indice per cui $ | b_p - b_n | < \epsilon/2a $ per ogni $ n > p $. Sia M il più grande tra $p$ e $m$. Si ha:
$| a_M b_M - a_n b_n |= |a_M b_M - a_n b_M + a_n g_M - a_n b_n| = |(a_M - a_n)b_M + a_n(b_M - b_n)| <= |a_M - a_n||b_M| + |a_n||b_M - b_n| < \epsilon/{2b} b + a \epsilon/{2b} = \epsilon$
L'ultimo passaggio è chiaro perché otteniamo $\epsilon/2$ e basta sommare per ottenere $\epsilon$.
I problemi che sorgono sono due:
- Perché posso dire che $|a_M - a_n| < \epsilon / {2b} $ ? In maniera analoga $|b_M - b_n| < \epsilon/{2a}$ ?
- Inoltre perchè dalla espressione si ha che $a = |a_n|$ e $b = |b_M|$
Rimarebbe comunque da dimostrare che la successione del prodotto sia indipendente dalle successioni scelte ma per quello ancora ci devo riflettere.
Allora sto cercando di definire la moltiplicazione sui numeri reali utilizzando le successioni di Cauchy.
Il ragionamento che sto seguendo è questo:
Siano $ r,s $ due numeri reali definiti per mezzo di due successioni di Cauchy $ {a_k}_(k\in N) $ per r e $ {b_k}_(k\in N) $ per s.
Si definisce il prodotto definito da $rs = [{a_k b_k}_(k\in N)]$.
Per la limitatezza delle successioni di Cauchy (e già qui non so bene cosa significa) esistono due razionali chiamati $ a $ maggiore in valore assoluto a tutti gli elementi della successione $ a_k $ e $ b $ maggiore in valore assoluto a tutti gli elementi della successione ${b_k}$.
Fissato $ \epsilon $ piccolo ma positivo sia $m$ l'indice corrispondente alla relazione $ |a_m - a_n | < \epsilon / 2b $ (per ogni
$n > m$) e $p$ l'indice per cui $ | b_p - b_n | < \epsilon/2a $ per ogni $ n > p $. Sia M il più grande tra $p$ e $m$. Si ha:
$| a_M b_M - a_n b_n |= |a_M b_M - a_n b_M + a_n g_M - a_n b_n| = |(a_M - a_n)b_M + a_n(b_M - b_n)| <= |a_M - a_n||b_M| + |a_n||b_M - b_n| < \epsilon/{2b} b + a \epsilon/{2b} = \epsilon$
L'ultimo passaggio è chiaro perché otteniamo $\epsilon/2$ e basta sommare per ottenere $\epsilon$.
I problemi che sorgono sono due:
- Perché posso dire che $|a_M - a_n| < \epsilon / {2b} $ ? In maniera analoga $|b_M - b_n| < \epsilon/{2a}$ ?
- Inoltre perchè dalla espressione si ha che $a = |a_n|$ e $b = |b_M|$
Rimarebbe comunque da dimostrare che la successione del prodotto sia indipendente dalle successioni scelte ma per quello ancora ci devo riflettere.
Risposte
Le successioni di Cauchy non rientrano nel programma di scuola secondaria. Sposto in area più consona.
Mi sembra una cosa standard, stava benissimo anche nella stanza di Analisi...
Quest'affermazione è, oltre che sgrammaticata, scorretta. Il prodotto \(r \cdot s \) sarà definito come il prodotto dei limiti delle successioni "definenti" \(r\) e \(s\).
Perché vale la condizione di Cauchy, per le successioni \(\{a_n\}_{n\in \mathbb{N}}\) e \(\{b_n\}_{n \in \mathbb{N}}\), che hai scritto due righe sopra. Faccio notare che la catena di disuguaglianze che hai riportato prova che \(a_n b_n\) è convergente (perché \(\mathbb{R}\) con la metrica standard è uno spazio metrico completo), ma non che converge a \(r \cdot s\).
"Shruikan":
[...] Si definisce il prodotto definito da $rs = [{a_k b_k}_(k\in N)]$. [...]
Quest'affermazione è, oltre che sgrammaticata, scorretta. Il prodotto \(r \cdot s \) sarà definito come il prodotto dei limiti delle successioni "definenti" \(r\) e \(s\).
"Shruikan":
[...] - Perché posso dire che $|a_M - a_n| < \epsilon / {2b} $ ? In maniera analoga $|b_M - b_n| < \epsilon/{2a}$ ? [...]
Perché vale la condizione di Cauchy, per le successioni \(\{a_n\}_{n\in \mathbb{N}}\) e \(\{b_n\}_{n \in \mathbb{N}}\), che hai scritto due righe sopra. Faccio notare che la catena di disuguaglianze che hai riportato prova che \(a_n b_n\) è convergente (perché \(\mathbb{R}\) con la metrica standard è uno spazio metrico completo), ma non che converge a \(r \cdot s\).
@ Delirium: Quello che si sta tentando di fare, se capisco bene, è definire i numeri reali mediante classi di equivalenza di successioni di Cauchy (a valori in $QQ$, oserei dire).
Ad esempio, si dice che due successioni di Cauchy $(a_n)$ e $(b_n)$ sono equivalenti se vale il seguente fatto:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \nu \in \mathbb{N}:\ \forall n\geq \nu,\ |a_n-b_n|<\varepsilon\; .
\]
Che quella ora definita sia una relazione di equivalenza si vede facilmente.
In tale ottica, si definisce numero reale ogni classe d'equivalenza di successioni di Cauchy, i.e. un numero reale $a$ è definito come $[(a_n)]$ (in cui \([\cdot ]\) denota la classe d'equivalenza della successione di Cauchy $(a_n)$ rispetto alla relazione introdotta sopra).
Il "limite" non è consentito prenderlo, se le successioni di Cauchy sono a valori razionali: infatti, come ben sai, esistono successioni di Cauchy in $QQ$ non convergenti in $QQ$ (e.g., $a_n=(1+1/n)^n$).
Ad esempio, si dice che due successioni di Cauchy $(a_n)$ e $(b_n)$ sono equivalenti se vale il seguente fatto:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \nu \in \mathbb{N}:\ \forall n\geq \nu,\ |a_n-b_n|<\varepsilon\; .
\]
Che quella ora definita sia una relazione di equivalenza si vede facilmente.
In tale ottica, si definisce numero reale ogni classe d'equivalenza di successioni di Cauchy, i.e. un numero reale $a$ è definito come $[(a_n)]$ (in cui \([\cdot ]\) denota la classe d'equivalenza della successione di Cauchy $(a_n)$ rispetto alla relazione introdotta sopra).
Il "limite" non è consentito prenderlo, se le successioni di Cauchy sono a valori razionali: infatti, come ben sai, esistono successioni di Cauchy in $QQ$ non convergenti in $QQ$ (e.g., $a_n=(1+1/n)^n$).
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