Covergenza serie della media.
Salve a tutti.
Questa sera pensavo alla legge dei grandi numeri e mi sono chiesto:
se $a_n$ e' una successione tale che $1/n sum_{k=1}^n a_k$ converge
allora $1/n sum_{k=1}^n |a_k|$ converge.
Non dovrebbe essere troppo complesso; domani, penso, ci riflettero'; intanto sono curioso di sapere i vostri pareri.
Grazie, ciao.
Questa sera pensavo alla legge dei grandi numeri e mi sono chiesto:
se $a_n$ e' una successione tale che $1/n sum_{k=1}^n a_k$ converge
allora $1/n sum_{k=1}^n |a_k|$ converge.
Non dovrebbe essere troppo complesso; domani, penso, ci riflettero'; intanto sono curioso di sapere i vostri pareri.
Grazie, ciao.
Risposte
Intanto lo sposto in Pensare un po' di più. Comunque, a naso mi pareva falso e ho cercato qualche controesempio, ma non ne ho trovati. Da dove proviene questa intuizione?
"dissonance":
Da dove proviene questa intuizione?
Ma non ha una particolare provenienza: ieri guardavo un forum (A of P S) e chiedevano una cosa del genere sul la legge dei grandi numeri; ci ho riflettuto un attimo e una delle prime cose che mi è venuta in mente è di prendere variabili aleatorie costanti ($X_k(omega)=a_k$) ed eccolo qua...
A occhio direi che è falso.
Se prendo $a_n = (-1)^n \sqrt{n}$, ottengo che
\[
s_{2n} = \sum_{j=1}^n [a_{2j} + a_{2j-1}] = \sum_{j=1}^n [ \sqrt{2j} - \sqrt{2j-1} ]
= \sum_{j=1}^n \frac{1}{\sqrt{2j} + \sqrt{2j-1}} \sim \sqrt{\frac{n}{2}},
\]
e \( s_{2n+1} \sim \sqrt{\frac{n}{2}} - \sqrt{2n+1} \).
Si ha dunque $\frac{s_n}{n} \to 0$.
D'altra parte $\sum_{k=1}^n |a_k| \sim \frac{2}{3} n^{3/2}$.
Se prendo $a_n = (-1)^n \sqrt{n}$, ottengo che
\[
s_{2n} = \sum_{j=1}^n [a_{2j} + a_{2j-1}] = \sum_{j=1}^n [ \sqrt{2j} - \sqrt{2j-1} ]
= \sum_{j=1}^n \frac{1}{\sqrt{2j} + \sqrt{2j-1}} \sim \sqrt{\frac{n}{2}},
\]
e \( s_{2n+1} \sim \sqrt{\frac{n}{2}} - \sqrt{2n+1} \).
Si ha dunque $\frac{s_n}{n} \to 0$.
D'altra parte $\sum_{k=1}^n |a_k| \sim \frac{2}{3} n^{3/2}$.
Si mi pare fili tutto a dovere, è interessante i vari risvolti che ha.
@Rigel:
@Rigel:
"Rigel":
\[
\sum_{j=1}^n \frac{1}{\sqrt{2j} + \sqrt{2j-1}} \sim \sqrt{\frac{n}{2}},
\]
Scusa Righello, questa non la vedo... Hai usato l'integrale?
Non è che ho proprio fatto dei conti come si deve 
Sì, ho stimato con l'integrale, che a meno di costanti
dovrebbe dare l'andamento asintotico corretto.
Sì, ho stimato con l'integrale, che a meno di costanti
dovrebbe dare l'andamento asintotico corretto.
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