Costruzioni deboli
Ho una curiosità che mi ronza in testa da tempo, ma che non riesco ad esprimere debitamente. In breve: sto cercando una "spiegazione" del perché le costruzioni deboli tendenzialmente funzionino bene quando c'è da conservare qualche proprietà, mentre le varianti "forti" perdano un sacco di roba per strada.
Esempi vari (nei quali \( \mathfrak{I} \) è un insieme di indici con \({\rm card}(\mathfrak{I})\) finita, numerabile o più che numerabile):
- Data una famiglia di spazi topologici compatti \(\{(X_i, \mathcal{T}_i)\}_{i \in \mathfrak{I}}\) si può rendere \(\prod_{i \in \mathfrak{I}} X_i\) (dove il prodotto è cartesiano) uno spazio topologico (in particolare) con la box topology o con la product topology. Nel primo caso il se gli \(\{(X_i, \mathcal{T}_i)\}_{i \in \mathfrak{I}}\) sono compatti il loro prodotto non è necessariamente compatto, nel secondo sì.
- Data una famiglia di gruppi abeliani \(\{G_i\}_{i \in \mathfrak{I}}\) si definiscono la somma diretta debole \(\sum_{i \in \mathfrak{I}} G_i\) ed il prodotto diretto \(\prod_{i \in \mathfrak{I}} G_i\) (dove il prodotto è inteso come somma diretta "forte" dei gruppi). Si ha che \(\sum_{i \in \mathfrak{I}} G_i\) è generato dagli stessi generatori dei \(\{G_i\}_{i \in \mathfrak{I}}\), mentre \(\prod_{i \in \mathfrak{I}} G_i\) no, con ciò che ne consegue (impossibilità di determinare univocamente dei morfismi da delle funzioni ecc.)[nota]Una cosa che "stona" con la mia osservazione (non parlo di controesempio perché non riesco a formulare un'ipotesi) è ad esempio il fatto che entrambe le costruzioni precedenti si estendono naturalmente ai complessi di catene ed ecco che la somma diretta commuta con la chain homology (l'omologia di una somma diretta di complessi di catene è isomorfa alla somma diretta delle omologie di ciascun complesso), e lo fa anche il prodotto diretto![/nota]
- Vedo lo stesso fenomeno su polinomi e successioni, ma qui fatico a metterlo a fuoco.
La lista potrebbe andare avanti ancora un po' e immagino ci siano molte altre situazioni simili che non conosco. Spero sia chiaro il senso del mio "perché?". C'è una ragione profonda (leggasi: teorema) dietro a questo "fenomeno matematico", o sto generalizzando indebitamente e caso per caso c'è solo una giustificazione particolare (la dimostrazione dei teoremi che ho citato), ma non c'è uno schema generale dietro a queste costruzioni? (O comunque una ragione logica/matematica che garantisca che costruzioni simili conservano determinate proprietà, o che spieghi perché le versioni non deboli in generale le perdono; o, ancora, che stabilisca quali proprietà si perdono e quali rimangono.)
So che la domanda è vaga, ma non riesco a fare di meglio, ho inserito gli esempi per cercare di compensare la mia incapacità di esporre debitamente la questione. Qualcuno ha una risposta o qualche idea?
Esempi vari (nei quali \( \mathfrak{I} \) è un insieme di indici con \({\rm card}(\mathfrak{I})\) finita, numerabile o più che numerabile):
- Data una famiglia di spazi topologici compatti \(\{(X_i, \mathcal{T}_i)\}_{i \in \mathfrak{I}}\) si può rendere \(\prod_{i \in \mathfrak{I}} X_i\) (dove il prodotto è cartesiano) uno spazio topologico (in particolare) con la box topology o con la product topology. Nel primo caso il se gli \(\{(X_i, \mathcal{T}_i)\}_{i \in \mathfrak{I}}\) sono compatti il loro prodotto non è necessariamente compatto, nel secondo sì.
- Data una famiglia di gruppi abeliani \(\{G_i\}_{i \in \mathfrak{I}}\) si definiscono la somma diretta debole \(\sum_{i \in \mathfrak{I}} G_i\) ed il prodotto diretto \(\prod_{i \in \mathfrak{I}} G_i\) (dove il prodotto è inteso come somma diretta "forte" dei gruppi). Si ha che \(\sum_{i \in \mathfrak{I}} G_i\) è generato dagli stessi generatori dei \(\{G_i\}_{i \in \mathfrak{I}}\), mentre \(\prod_{i \in \mathfrak{I}} G_i\) no, con ciò che ne consegue (impossibilità di determinare univocamente dei morfismi da delle funzioni ecc.)[nota]Una cosa che "stona" con la mia osservazione (non parlo di controesempio perché non riesco a formulare un'ipotesi) è ad esempio il fatto che entrambe le costruzioni precedenti si estendono naturalmente ai complessi di catene ed ecco che la somma diretta commuta con la chain homology (l'omologia di una somma diretta di complessi di catene è isomorfa alla somma diretta delle omologie di ciascun complesso), e lo fa anche il prodotto diretto![/nota]
- Vedo lo stesso fenomeno su polinomi e successioni, ma qui fatico a metterlo a fuoco.
La lista potrebbe andare avanti ancora un po' e immagino ci siano molte altre situazioni simili che non conosco. Spero sia chiaro il senso del mio "perché?". C'è una ragione profonda (leggasi: teorema) dietro a questo "fenomeno matematico", o sto generalizzando indebitamente e caso per caso c'è solo una giustificazione particolare (la dimostrazione dei teoremi che ho citato), ma non c'è uno schema generale dietro a queste costruzioni? (O comunque una ragione logica/matematica che garantisca che costruzioni simili conservano determinate proprietà, o che spieghi perché le versioni non deboli in generale le perdono; o, ancora, che stabilisca quali proprietà si perdono e quali rimangono.)
So che la domanda è vaga, ma non riesco a fare di meglio, ho inserito gli esempi per cercare di compensare la mia incapacità di esporre debitamente la questione. Qualcuno ha una risposta o qualche idea?
Risposte
Mi piace l'entusiasmo 
cerchiamo solo di essere precisi:
cerchiamo solo di essere precisi:"j18eos":A me pare sia la definizione non di prodotto ma di minimo comune multiplo.
affermiamo allora che \(\displaystyle n\times m\) è il prodotto di \(\displaystyle n\) ed \(\displaystyle m\) se per ogni numero \(\displaystyle p\) divisibile per \(\displaystyle n\) e per \(\displaystyle m\) si ha che \(\displaystyle p\) è divisibile per \(\displaystyle n\times m\)
In breve, è la definizione di prodotto "usuale" di numeri naturali secondo l'ufficio complicazioni affari semplici!.
@Epimenide Coi gruppi, i moduli, gli spazi topologici e gli insiemi possiamo usare entrambi i "grafici"; però in tutti questi casi (per come ricordo ora), si utilizza il "grafico" posto a "destra".
Lavoraci un pò sopra!
Ci vuole ancora un pò di tempo per la III parte... Devo chiudere i primi 2 capitoli della tesi (da non ricordo da quanto tempo...)
@Martino Grazie, della segnalazione.
Lavoraci un pò sopra!
Ci vuole ancora un pò di tempo per la III parte... Devo chiudere i primi 2 capitoli della tesi (da non ricordo da quanto tempo...)
@Martino Grazie, della segnalazione.
Cioe' avete parlato per tre pagine e nessuno mi ha chiamato?
lol!
Per esperienza personale credo che questo sia un tipo di domande che è meglio non fare, nel senso che si tratta di questioni ampiamente soggettive che difficilmente si riescono a condividere completamente.
lol!
Cerchiamo di fare un po' di ordine...
Questa e' una conseguenza del fatto che i prodotti e i coprodotti, in una categoria abeliana, sono funtori esatti quando riguardati come \(\mathbf{A}^I\to\mathbf{A}\) (e su \(\mathbf{A}^I=\text{Fun}(I,\mathbf{A})\) metti la struttura ovvia di categoria abeliana).
Non credo che quello che stai costruendo (il prodotto nel senso categoriale del termine) sia davvero il prodotto tra numeri naturali, riguardando \(\mathbb{N}\) come una categoria. Tu stai costruendo il prodotto su \(\mathbb N\) guardato come insieme parzialmente ordinato dalla relazione di divisibilita'; allora, come in ogni poset che si rispetti, quando guardato come categoria, i prodotti (finiti) coincidono coi meet finiti, dando quindi luogo, su \(\mathbb{N}\), al mcm tra due (o tra un numero finito) di numeri naturali. D'altra parte il prodotto categoriale su \(\mathbb{N}\), guardato come monoide, cioe' come una categoria con un solo oggetto, mi sembra non esistere (imponi la proprieta' universale!).
In effetti, detta cosi' la questione ha poco di categoriale. Quello che puoi trovare in CT e' un linguaggio adatto a trasformare la questione (che ad alcuni sembra filosofia) in matematica perfettamente formale e lecita.
"Le strutture deboli sono migliori" e' ai miei occhi una locuzione che ha un significato preciso, ma bisogna stare attenti a cosa si intende; in un senso opportuno, questo porta piuttosto rapidamente alla nozione di higher-categoria (che quindi non va guardata come l'opera di un negromante ma come una struttura che siamo obbligati a dover studiare). Ora, mi sembra che il caso topologico che avete abbondantemente studiato si possa riassumere nella seguente regola di vita benedettina:
il prodotto infinito giusto da fare nella sottocategoria \(\mathbf{Comp}\) degli spazi compatti e' quello che preserva la compattezza.
fine. Se gli spazi non sono compatti non ha senso, categorialmente, scegliere di preservare una struttura che non hai la semantica per definire. Se ti sposti nella cat degli spazi compatti, viceversa, dovrai restarci dentro, e il fatto che questo si possa fare non e' scontato a priori. Ti costa qualcosa: devi scindere due nozioni che pensavi fossero coincidenti (la top \(\{\pi_i\}_{i}\)-iniziale e la box topology).
Sono poi estremamente perplesso dal veder chiamare il coprodotto in \(\mathbf{Ab}\) "prodotto debole"... e' una notazione fuorviante e falsa, perche' rischia di essere confusa con la nozione di limite debole discreto (era con te che ne parlavo? Non credo).
Le serie formali sono un completamento dell'anello dei polinomi, guardato come spazio (ultra)metrico. Ma adesso devo fuggire. http://en.wikipedia.org/wiki/Formal_pow ... eries_ring
Una cosa che "stona" con la mia osservazione (non parlo di controesempio perché non riesco a formulare un'ipotesi) è ad esempio il fatto che entrambe le costruzioni precedenti si estendono naturalmente ai complessi di catene ed ecco che la somma diretta commuta con la chain homology (l'omologia di una somma diretta di complessi di catene è isomorfa alla somma diretta delle omologie di ciascun complesso), e lo fa anche il prodotto diretto!
Questa e' una conseguenza del fatto che i prodotti e i coprodotti, in una categoria abeliana, sono funtori esatti quando riguardati come \(\mathbf{A}^I\to\mathbf{A}\) (e su \(\mathbf{A}^I=\text{Fun}(I,\mathbf{A})\) metti la struttura ovvia di categoria abeliana).
Volendo fare un parallelo con l'idea "naturale" di prodotto, prendiamo due numeri naturali \(\displaystyle n\) ed \(\displaystyle m\) (pure nulli, se volete); il loro "prodotto"
Non credo che quello che stai costruendo (il prodotto nel senso categoriale del termine) sia davvero il prodotto tra numeri naturali, riguardando \(\mathbb{N}\) come una categoria. Tu stai costruendo il prodotto su \(\mathbb N\) guardato come insieme parzialmente ordinato dalla relazione di divisibilita'; allora, come in ogni poset che si rispetti, quando guardato come categoria, i prodotti (finiti) coincidono coi meet finiti, dando quindi luogo, su \(\mathbb{N}\), al mcm tra due (o tra un numero finito) di numeri naturali. D'altra parte il prodotto categoriale su \(\mathbb{N}\), guardato come monoide, cioe' come una categoria con un solo oggetto, mi sembra non esistere (imponi la proprieta' universale!).
non sapevo se e quanto il problema del "le cose deboli sono fighe, le cose forti in generale un po' meno" passasse per la stessa teoria
In effetti, detta cosi' la questione ha poco di categoriale. Quello che puoi trovare in CT e' un linguaggio adatto a trasformare la questione (che ad alcuni sembra filosofia) in matematica perfettamente formale e lecita.
"Le strutture deboli sono migliori" e' ai miei occhi una locuzione che ha un significato preciso, ma bisogna stare attenti a cosa si intende; in un senso opportuno, questo porta piuttosto rapidamente alla nozione di higher-categoria (che quindi non va guardata come l'opera di un negromante ma come una struttura che siamo obbligati a dover studiare). Ora, mi sembra che il caso topologico che avete abbondantemente studiato si possa riassumere nella seguente regola di vita benedettina:
il prodotto infinito giusto da fare nella sottocategoria \(\mathbf{Comp}\) degli spazi compatti e' quello che preserva la compattezza.
fine. Se gli spazi non sono compatti non ha senso, categorialmente, scegliere di preservare una struttura che non hai la semantica per definire. Se ti sposti nella cat degli spazi compatti, viceversa, dovrai restarci dentro, e il fatto che questo si possa fare non e' scontato a priori. Ti costa qualcosa: devi scindere due nozioni che pensavi fossero coincidenti (la top \(\{\pi_i\}_{i}\)-iniziale e la box topology).
Sono poi estremamente perplesso dal veder chiamare il coprodotto in \(\mathbf{Ab}\) "prodotto debole"... e' una notazione fuorviante e falsa, perche' rischia di essere confusa con la nozione di limite debole discreto (era con te che ne parlavo? Non credo).
I polinomi sono successioni definitivamente nulle
Le serie formali sono un completamento dell'anello dei polinomi, guardato come spazio (ultra)metrico. Ma adesso devo fuggire. http://en.wikipedia.org/wiki/Formal_pow ... eries_ring
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo