Costruzione di un triangolo con riga e compasso
Ciao a tutti!
ho un problema da sottoporvi che sto cercando di risolvere da un po' di tempo con scarsi risultati. Vi dico di cosa si tratta:
Costruire un triangolo generico conoscendo la lunghezza del lato a= $\overline{BC}$ , l'angolo $\alpha$ opposto al lato a e la lunghezza del raggio della circonferenza inscritta nel triangolo.
specifico due cose:
1. La costruzione in questione la sto facendo usando il programma cabrì2 e non posso usare altro che rette o circonferenze.
2. poichè il testo dell'esercizio non ne specifica il valore numerico, le lunghezze e l'angolo potete prenderle e fissarle come volete.
purtroppo non so come fare ad inserire il file da me creato.
Mi aiutate a risolvere questo problema? Grazie.
ho un problema da sottoporvi che sto cercando di risolvere da un po' di tempo con scarsi risultati. Vi dico di cosa si tratta:
Costruire un triangolo generico conoscendo la lunghezza del lato a= $\overline{BC}$ , l'angolo $\alpha$ opposto al lato a e la lunghezza del raggio della circonferenza inscritta nel triangolo.
specifico due cose:
1. La costruzione in questione la sto facendo usando il programma cabrì2 e non posso usare altro che rette o circonferenze.
2. poichè il testo dell'esercizio non ne specifica il valore numerico, le lunghezze e l'angolo potete prenderle e fissarle come volete.
purtroppo non so come fare ad inserire il file da me creato.
Mi aiutate a risolvere questo problema? Grazie.
Risposte
In base ai dati è possibile calcolare i segmenti che si vedono nella figura. Si descriva ora la circonferenza di centro
G e raggio R. Con centro in un punto qualunque B di tale circonferenza e raggio=a, si traccia l'arco che intersechi la detta circonferenza in C. In tal modo i punti B e C sono i primi due vertici del triangolo che si cerca. Si traccia la retta t parallela a BC e distante r ( = raggio del cerchio inscritto che per ipotesi è noto) da essa. Da G si manda la perpendicolare a t fino ad intersecare BC nel suo punto medio L e l'arco minore BC in F. Si descrive la circonferenza di centro L e raggio=s. Tale circonferenza tagli BC in E e da E si traccia la perpendicolare a t fino ad incontrare la t medesima in O. Finalmente la retta FO tagli la circonferenza in A che risulta il terzo vertice del triangolo ABC richiesto.
Non so se quanto sto per dirti possa esserti d'aiuto.
Io proverei ad iniziare dall'angolo e dalla sua bisettrice: il centro del cerchio inscritto appartiene ad essa, e tu dovresti conoscere anche il raggio di tale cerchio. A questo punto i casi sono due: o il triangolo è isoscele rispetto a BC come base, ed in tal caso l'intersezione tra BC e la bisettrice dell'angolo in A è il punto di tangenza tra BC e la circonferenza di raggio r; oppure, se ad esempio ABc$. Infatti:
Se dal centro della circonferenza mandi la perpendicolare a BC, che interseca BC nel punto H, si ha $BH=c, HC=b$.
Se chiami D il punto d'intersezione tra la bisettrice di $alpha$ e $BC$, dal teorema della bisettrice si ha $AB : BD = AC : DC$
.... si può provare anche a scrivere un'equazione, ma credo che non sia quello che devi fare tu ...
spero di esserti stata utile. facci sapere. ciao.
Io proverei ad iniziare dall'angolo e dalla sua bisettrice: il centro del cerchio inscritto appartiene ad essa, e tu dovresti conoscere anche il raggio di tale cerchio. A questo punto i casi sono due: o il triangolo è isoscele rispetto a BC come base, ed in tal caso l'intersezione tra BC e la bisettrice dell'angolo in A è il punto di tangenza tra BC e la circonferenza di raggio r; oppure, se ad esempio AB
Se dal centro della circonferenza mandi la perpendicolare a BC, che interseca BC nel punto H, si ha $BH=c, HC=b$.
Se chiami D il punto d'intersezione tra la bisettrice di $alpha$ e $BC$, dal teorema della bisettrice si ha $AB : BD = AC : DC$
.... si può provare anche a scrivere un'equazione, ma credo che non sia quello che devi fare tu ...
spero di esserti stata utile. facci sapere. ciao.
La soluzione proposta da ciromario mi piace molto, ma purtroppo non è quello che cercavo. Infatti non posso fare nessun tipo di calcoli per arrivare a tracciare il risultato ma usare solo teoremi e proprietà del triangolo e della circonferenza intuibili "facilmente" a livello grafico.
Vi propongo la mia soluzione: fissato il lato $a$(blu) del triangolo, mi trovo il punto medio, ne definisco la perpendicolare passante per esso e fisso poi il mio angolo $\alpha$. A questo punto tracciando gli assi dei segmenti $OB$ e $OC$ trovo il centro della circonferenza su cui potrà muoversi il mio punto $A$. definisco inoltre il punto $D$ come il punto di intersezione tra la mia perpendicolare(che è anche bisettrice dell'angolo) e la circonferenza tracciata. Uso ora il fatto noto che il centro della circonferenza inscritta deve trovarsi sulla bisettrice dell'angolo $\alpha$. Traccio allora una retta parallela al segmento $OC$ passante per $D$(che è anche bisettrice dell'angolo $\alpha$ originato in quel punto), e trovo il punto di intersezione con la circonferenza che sarà esattamente il mio vertice $A$. A questo punto, però so già che il centro della circonferenza inscritta è l'incontro delle due bisettrici.
Il problema di questa soluzione sta nel fatto che in pratica non uso il dato del raggio.
Vi propongo la mia soluzione: fissato il lato $a$(blu) del triangolo, mi trovo il punto medio, ne definisco la perpendicolare passante per esso e fisso poi il mio angolo $\alpha$. A questo punto tracciando gli assi dei segmenti $OB$ e $OC$ trovo il centro della circonferenza su cui potrà muoversi il mio punto $A$. definisco inoltre il punto $D$ come il punto di intersezione tra la mia perpendicolare(che è anche bisettrice dell'angolo) e la circonferenza tracciata. Uso ora il fatto noto che il centro della circonferenza inscritta deve trovarsi sulla bisettrice dell'angolo $\alpha$. Traccio allora una retta parallela al segmento $OC$ passante per $D$(che è anche bisettrice dell'angolo $\alpha$ originato in quel punto), e trovo il punto di intersezione con la circonferenza che sarà esattamente il mio vertice $A$. A questo punto, però so già che il centro della circonferenza inscritta è l'incontro delle due bisettrici.
Il problema di questa soluzione sta nel fatto che in pratica non uso il dato del raggio.
Il problema di questa soluzione sta nel fatto che in pratica non uso il dato del raggio
In effetti tu non hai costruito il triangolo di lato $a$, angolo $\alpha$ e raggio inscritto $r$...hai costruito il triangolo di lato $a$ e angolo $\alpha$.
p.s. senza passare per calcoli non saprei come fare, quindi temo di non poterti aiutare.
Penso che Fravilla non cerchi una soluzione al problema ma una ...genialata! 
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