Convessità e non-crescenza

[Frink1]

Problema. Sia $f:[0;+\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ una funzione di classe $C^2$ e sia $g:[0;+\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ definita da $g(x):=f(x)-xf'(x)$

(i) Dimostrare che $f$ è convessa se e solo se $g$ è non-crescente.
(ii) Dimostrare che, se $f$ è convessa e
\[
\lim_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=+\infty,
\]
allora
\[
\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=-\infty.
\]

(i)

Dimostro prima l'implicazione $\Leftarrow$. Sia $g$ decrescente, allora $g'(x)\leq 0$.

$g'(x)=f'(x)-(f'(x)+xf^((2))(x))=-xf^((2))(x) \leq 0$.

Siccome $x \in [0,+\infty)$, deve essere $-f^((2))(x) \leq 0 \Rightarrow f^((2))(x) \geq 0$.

Per l'implicazione $\Rightarrow$: $f$ convessa $\Rightarrow$ $f^((2))(x) \geq 0$. Derivando $g(x)$ come prima ottengo che $-xf^((2))(x)$, che per le considerazioni di cui sopra è negativo. Dunque la funzione $g$ è decrescente.

(ii)

Comincio col notare che, poiché la derivata prima di $f$ tende a $+\infty$, vale $\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x}=\frac{\infty}{\infty}$, quindi posso applicare il Teorema di De L'Hopital e so che $\lim_{x \rightarrow +\infty} f'(x)=+\infty$, quindi anche $\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x}=+\infty$.


Invece di studiare la funzione $g(x)$, studio il comportamento della sua derivata prima $g'(x)=-xf^{(2)}(x)$ all'infinito.

\[
\lim_{x \rightarrow +\infty} -xf^{(2)}(x).
\]

Il problema adesso si riduce a determinare il valore della derivata seconda, che è sempre positiva per ipotesi. L'unico problema si avrebbe con $f^{(2)}(x) \rightarrow 0$. Ma se la derivata seconda tendesse a $0$, siccome è convessa la $f$ tenderebbe verso un cambiamento di concavità, ossia avrebbe asintoto obliquo. Quest'ultimo sono certo non lo abbia, dal momento che ho detto sopra che $\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x}=+\infty$ Ma allora la $f^{(2)}(x)$ assume valore finito, e quindi il limite di $g'(x)$ tende a $-\infty$, da cui si deduce la tesi.

Propongo questo problema e vi chiedo anche se le mie proposte sono corrette, dal momento che non possiedo soluzioni.
Buon lavoro!

Fonte: Concorso Ammissione SISSA 2013

[xXStephXx]

Per il ii) forse si può procedere pure così.
$f'(x)$ è crescente e va ad infinito, quindi esiste $x_0$ tale che $f'(x) > f'(x_0) \geq 0$ per ogni $x > x_0$.
$g(x) = f(x_0)+ \int_{x_0}^{x} f'(t) dt -xf'(x)$
Sia ora un $x_1 > x_0$. Per $x > x_1$ vale
$\int_{x_0}^{x} f'(t) dt -(x-x_0)f'(x) \leq (x_0 - x_1)(f'(x)-f'(x_1))$
Da cui $g(x) \leq f(x_0) - (x_1-x_0)(f'(x)-f'(x_1))$ quest'ultima va a $-\infty$