Convergenza serie

[fu^2]

Un esercizio che chi ha fatto la teoria spettrale sicuramente ha già visto. Dunque è proposto (principalmente) a chi ha iniziato a vedere i primi accenni agli spazi di Banach / Hilbert...

Sia [tex]T:\mathbb{H}\to\mathbb{H}[/tex] un operatore continuo in uno spazio di Hilbert. Supponiamo che [tex]\mid\mid T\mid\mid_{\infty}<1[/tex], allora [tex](1-T)^{-1}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}T^n[/tex]

dove la serie converge nella norma operatoriale, ovvero vale che

[tex]\forall\epsilon >0 , \exists N>0[/tex] [tex]: \mid\mid (1-T)^{-1}-\displaystyle\sum_{n=0}^N T^n\mid\mid_{\infty}=\displaystyle\sup_{\mid\mid x\mid\mid_{\mathbb{H}} =1}\left\{ \mid\mid (1-T)^{-1}(x)-\displaystyle\sum_{n=0}^N T^n(x)\mid\mid_{\mathbb{H}}\right\}<\epsilon[/tex]

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per cultura, questo risultato prende il nome di serie di Neumann.

[gugo82]

Direi che è un esercizio standard: la serie a secondo membro si chiama serie di Neumann dell'operatore [tex]$T$[/tex].

Ad ogni modo, eccoci qua:

Innanzitutto mostriamo che [tex]S:=\sum_{n=0}^{+\infty} T^n[/tex] è un operatore lineare continuo.
Per [tex]$N\in \mathbb{N}$[/tex] poniamo [tex]S_N:=\sum_{n=0}^N T^n[/tex]: evidentemente l'operatore [tex]$S_N$[/tex] è definito in [tex]$\mathfrak{H}$[/tex], prende valori in [tex]$\mathfrak{H}$[/tex], è lineare ed è pure continuo (somma di operatori lineari continui).
Fissato [tex]$x\in \mathfrak{H}$[/tex], per ogni [tex]$N,M\in \mathbb{N}$[/tex] si ha:

[tex]$|S_N x-S_{N+M}x|\leq \sum_{n=N+1}^{N+M} |T^nx|\leq \left\{ \sum_{n=N+1}^{N+M} \lVert T\rVert^n \right\}\ |x| \leq \left\{ \sum_{n=N+1}^{+\infty} \lVert T\rVert^n \right\}\ |x|$[/tex],

sicché la successione in [tex]$\mathfrak{H}$[/tex] di termine generale [tex]$S_N x$[/tex] è di Cauchy e convergente in [tex]$\mathfrak{H}$[/tex] (infatti la successione [tex]\sum_{n=N+1}^{N+M} \lVert T\rVert^n[/tex] è infinitesima, per essere la successione dei resti di una serie geometrica convergente); per definizione [tex]$Sx:=\lim_N S_Nx$[/tex] e l'operatore così definito è lineare ed è pure limitato (per Banach-Steinhaus, ad esempio).

Infine mostriamo che [tex]$S=(I-T)^{-1}$[/tex], ossia che [tex]$(I-T)S x=x=S(I-T)x$[/tex].
Abbiamo:

[tex]$(I-T)Sx = (I-T) \left( \lim_N S_Nx\right) $[/tex]
[tex]$=\lim_N (I-T)S_Nx $[/tex]
[tex]$=\lim_N S_Nx -TS_Nx $[/tex]
[tex]$=\lim_N x-T^{N+1}x $[/tex]
[tex]$=x-\lim_N T^{N+1}x$[/tex];

ma per ogni [tex]$x\in \mathfrak{H}$[/tex] si ha:

[tex]$|T^{N+1}x|\leq \lVert T\rVert^{N+1} |x| \stackrel{N\to \infty}{\to} 0$[/tex]

quindi [tex]$\lim_N T^{N+1} x=\mathfrak{o}$[/tex] e perciò:

[tex]$(I-T)Sx = x$[/tex];

analogamente si dimostra che [tex]$S(I-T)x=x$[/tex]. Pertanto [tex]$S=(I-T)^{-1}$[/tex].

La dimostrazione non fa uso delle proprietà degli spazi di Hilbert, quindi la convergenza della serie di Neumann è assicurata dalla condizione [tex]$\lVert T\rVert <1$[/tex] anche nel caso più generale in cui [tex]$T$[/tex] è un operatore lineare continuo di uno spazio di Banach in sé.

[fu^2]

Bene gugo!

Però il fatto che è abbastanza standard lo sapevo (

Un esercizio che chi ha fatto la teoria spettrale sicuramente ha già visto. Dunque è proposto (principalmente) a chi ha iniziato a vedere i primi accenni agli spazi di Banach / Hilbert...

)

[gugo82]

Quando ho postato non avevo letto quel passaggio.