Continuità di una funzione integrale

[Sk_Anonymous]

Esercizio. Sia \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) continua tale che il suo integrale improprio (nel senso di Riemann) \( \int_\mathbb{R} |f(x)| \, dx \) è convergente. Mostrare che la funzione \( F: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita da \[F(y) = \int_\mathbb{R} f(x) \cos (xy) \, dx \] è continua.

Nota. Considerando l'integrale nel senso di Lebesgue si potrebbero usare teorema della convergenza dominata e affini, ma sarebbe troppo facile. Vorrei vedere una soluzione che usi la convergenza uniforme, o addirittura semplicemente la definizione \( \epsilon - \delta \) (io credo di averlo risolto con quest'ultima).

[Bremen000]

Non riuscendo (neanche lontanamente) a risolvere l'esercizio sull'isometria tra \( \ell^{\infty} \) e \( L(L^p([0,1])) \) ho optato per questo. Spero che sia corretto:

Siano \( \epsilon >0 \) e \( y_0 \in \mathbb{R} \) fissati.

Per ogni \( x \in \mathbb{R} \) la funzione \( y \mapsto f(x)\cos(xy) \) è continua. Dunque per ogni $R>0$ esiste un \( \delta = \delta(x,R,\epsilon) \) tale che

\[ |y-y_0|<\delta \Rightarrow |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|< \frac{\epsilon}{4R} \]


Per ogni $R>0$ esiste un \( x_R \in [-R, R ] \) tale che

\[ \int_{-R}^{R} |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|dx = 2R |f(x_R) \cos(x_R y)-f(x_R) \cos(x_R y_0)| \]


Dunque si ha che per ogni \( R>0 \) esiste un \( \delta = \delta(x_R, R, \epsilon) \) tale che

\[ |y-y_0|<\delta \Rightarrow \int_{-R}^{R} |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|dx < \epsilon/2 \]


Osservo che

\[ \lim_{R \to \infty} \int_{-R}^{R} |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|dx = \int_{\mathbb{R}} |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|dx \le 2 \int_{\mathbb{R}} |f(x)| dx < \infty \]

Dunque

\[ \lim_{R \to \infty} \int_{|x|>R} |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|dx =0 \]

Ovvero esiste un \( R_{\epsilon} >0 \) tale che

\[ \int_{|x|>R_{\epsilon}} |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|dx < \epsilon/2 \]


Quindi per quanto detto sopra esiste un \( \delta = \delta( x_{R_{\epsilon}}, R_{\epsilon}, \epsilon) \)

\[ |y-y_0| < \delta \Rightarrow \int_{\mathbb{R}} |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|dx = \int_{-R_{\epsilon}}^{R_{\epsilon}} |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|dx + \int_{|x|> R_{\epsilon}} |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|dx < \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon \]


Quindi in definitiva, per ogni \( y_0 \in \mathbb{R} \) si ha che

\[ \forall \epsilon >0 \quad \exists \, \delta = \delta_{\epsilon} >0 \, : \, |y-y_0|< \delta \Rightarrow \]
\[ \epsilon> \int_{\mathbb{R}} |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|dx \ge \Biggl | \int_{\mathbb{R}} f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)dx \Biggr | = \biggl |F(y)-F(y_0) \biggr | \]


Cioè per ogni \(y_0 \in \mathbb{R} \) si ha che

\[ \lim_{y \to y_0} F(y) = F(y_0) \]

Il che conclude la dimostrazione e mi fa pensare a quanto siamo fortunati ad avere avuto Lebesgue tra noi.

[Sk_Anonymous]

E' giusto. Io avevo usato la periodicità del coseno, ma onestamente al momento non ricordo che costruzione ho fatto

[Bremen000]

Bene! Grazie mille Delirium!

[Sk_Anonymous]

Ho verificato e la mia idea non funziona. Solita storia del fatto che sono troppo pigro per scrivere i calcoli, passasse di qui dissonance mi prenderebbe a sassate...

[Bremen000]

Conosco bene la filosofia di dissonance e gugo, l'hanno proprio ribadita in questi giorni nella stanza di analisi superiore! In ogni caso, la pigrizia nel fare i conti direi che comunque è una caratteristica che condividiamo

[gugo82]

Scusa Bremen... Ma c’è qualcosa che non mi torna nelle dipendenze dei vari $delta$.
In particolare, quello che usi per maggiorare con $epsilon/(4R)$ non dovrebbe dipendere dalla variabile $x$, “a occhio”.
Serve un po’ di uniformità o sbaglio?

[Bremen000]

Ciao gugo, non so se ho capito bene. Qua:

Per ogni \( x \in \mathbb{R} \) la funzione \( y \mapsto f(x)\cos(xy) \) è continua. Dunque per ogni $ R>0 $ esiste un \( \delta = \delta(x,R,\epsilon) \) tale che

\[ |y-y_0|<\delta \Rightarrow |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|< \frac{\epsilon}{4R} \]

Dico che \( \delta \), in generale, può dipendere da \( x \), \(R \) e \( \epsilon \). Tu dici che non dipende da \(x\)?

[gugo82]

Dico che se vuoi usare quell’implicazione per maggiorare un integrale, devi essere ragionevolmente sicuro che $delta$ non dipenda dalla variabile di integrazione $x$, “a occhio”.

[Bremen000]

Ah!
Ma scusa se utilizzo il teorema della media integrale, e prendo come $x$ quella che realizza l'uguaglianza integrale-funzione valutata nel punto, \( \delta \) dipenderà da quell' \(x\) ma questo crea problemi?

[Bremen000]

C'ho pensato su ma non mi sembra che ci siano complicazioni! Dove sbaglio?

[Erasmus_First]

"Delirium":Esercizio. Sia \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) continua [...]

Per il quiz che proponi non è nemmeno necessario che $f(x)$ sia continua. E' sufficente che f(x) sia integrabile (secondo Riemann) in ogni intervallo e sia finito l'integrale (improprio] da $-∞$ a $+∞$, cioè: che l'integrale di $f(x)$ in $dx$ da $–a$ ad $a$ per $a$ reale tendente a $+∞$converga

[Bremen000]

Mmmmm e come lo dimostreresti?

[Erasmus_First]

"Bremen000":Mmmmm e come lo dimostreresti?

Non c'è bisogno di una dimostrazione ad hoc!
Quel che ho detto è intrinseco alla stesa definizione di integrale [secondo Riemann] (che è il limite di un a somma di addendi "discreti" al tendere all'infinito del numero di addendi ed a zero di ciascun addendo. Ovviamente quel che ho detto è vero perché cos(xy) è continua al variare di x per ogni y fissato e al variare di y per ogni x fissato.
Non sono bravo nel mostrare dimostrazioni rigorose. [Ero un ingegnere, non un matematico!].
Ti posso però portare un bell'esempio che forse basterà a convincere anche te.
Considera un'onda onda quadra dispari q(x), per esempio:

q(x) = lim arctan[sin(x)/a]
      a → 0+

che è evidentemente discontinua. E poi poni:
$f(x) = e^(-|x|)· q(x)$.
Il fattore $e^(-|x|)$ trasforma $q(x)$ (che è periodica) in una funzione ancora con lo stesso tipo di discontinuità ma infinitesima sia per x ––> +∞ che per x ––> -∞.
Questa f(x) è integrabile in ogni intervallo (e la sua primitiva nulla in x=0 è una specie di onda triangolare smorzata esponenzialmente in entrambi i versi di x.
Se quindi moltiplichiamo per cos(xy) abbiamo ancora una funzione discontinua infinitesima per x ––>∞ (in entrambi i versi).; però f(x) è ancora integhrabile in ogni intervallo e quindi il tuo integrale non può che essere continuo in y per la stessa definizione di integrale [secondo Riemann].
–––

[Bremen000]

Ci stavo pensando e in effetti se si usa la convergenza dominata, essendo \( f \in L^1(\mathbb{R}) \) e \( \cos(xy) \) limitata, non serve la continuità di $f$. Nella mia dimostrazione (senza convergenza dominata) però la uso, non saprei come fare diversamente!

[dissonance]

"Bremen000":Conosco bene la filosofia di dissonance e gugo, l'hanno proprio ribadita in questi giorni nella stanza di analisi superiore! In ogni caso, la pigrizia nel fare i conti direi che comunque è una caratteristica che condividiamo

Me ne sono accorto solo adesso, ero al mare. Pure io sono pigro nei conti, fatto che mi procura numerose seccature. Ecco perché pontifico tanto!