Contare i sottogruppi di $ZZ_p^r$

[maurer]

Leggendo questo, mi sono ricordato di quest'altro esercizio che avevo svolto tempo fa. Ve lo propongo, perché alla fine può anche essere divertente.

Esercizio. Contare (e determinare) i sottogruppi di [tex]\mathbb Z_p^r[/tex] dove [tex]p[/tex] è un primo.

[j18eos]

Per correttezza, parli del prodotto diretto di [tex]$\mathbb{Z}_p$[/tex] con sé stesso per [tex]$r$[/tex] volte?

OUT OF SELF Addirittura t'ho fatto ricordare un esercizio!

[maurer]

Sì, scusa, sono stato un po' ermetico nelle notazioni. Intendo proprio [tex]\mathbb Z_p \times \mathbb Z_p \times \ldots \times \mathbb Z_p[/tex] [tex]r[/tex] volte.

"j18eos":OUT OF SELF Addirittura t'ho fatto ricordare un esercizio!

Non capisco a cos'è dovuta la faccina imbarazzata... ho visto la formula che davi e mi sono semplicemente ricordato che era il caso particolare della formula che avevo trovato quando facevo quell'esercizio... Osserva che un gruppo di ordine [tex]p^2[/tex] è abeliano e dire che non è ciclico lo obbliga ad essere [tex]\mathbb Z_p \times \mathbb Z_p[/tex]!

[j18eos]

Più che imbarazzo è l'emozione!

Almeno mi confermi che non ho scritto fesserie lì.

[maurer]

Ok... ma posso sempre averle dette io quando ho fatto l'esercizio!
Comunque, se hai fatto quello là, dovresti venire a capo in poco tempo anche di questo qua.

[j18eos]

Ecco un'altra faccenduola in sospeso.

Sapendo che ogni \(\mathbb{Z}_p\) è generato da numeri modulo \(p\) coprimi con \(p\) stesso, ovvero ha \(p-1\) generatori!

Essendo \(|\mathbb{Z}_p^r|=p^r\), si ha che le \(r\)-ple di generatori di \(\mathbb{Z}_p\) sono \((p-1)^r\); quindi si deve contare in quanti modi con ripetizione si possono formare \(r\)-ple con almeno un elemento che non generi \(\mathbb{Z}_p\), esclusa la \(r\)-pla \(\underbrace{(1;...;1)}_{\text{r volte}}\)...
Al momento non ho la forza di andare a cercare la formula esatta, ma credo che indicato con \(N\) tale numero la risposta al quesito sia proprio \(N\)!

Provo con \(p^r-(p-1)^r-p^{r-1}\) !

[maurer]

Ahah, oddio Armando, mi costringi a fare uno sforzo di memoria incredibile! Ho dovuto ricordarmi dove avessi scritto la soluzione di quell'esercizio! Fortuna che sono pazzo al punto giusto da latexare ogni esercizio che risolvo!

La formula che mi viene è diversa:

[tex]1 + \sum_{k = 1}^r \prod_{i = 0}^{k-1} \frac{p^r - p^i}{p^k - p^i}[/tex]

Non metto ancora la soluzione!

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Ahaha questo è un tipico esercizio di cui è bello cercare la soluzione più elegante possibile.

[j18eos]

Sicuramente non sei più pazzo di me, dato che ultimamente oltre a perdermi tra i conti e le righe dei manoscritti di matematica mi perdo nei miei panni!

Comunque la formula finale che ho scritta è errata, già per \(r=1\); non ho letto lo spoiler e cercherò una soluzione prima e poi una sua forma elegante.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Ah, ora che ci penso non c'è molto da dire: basta

contare i [tex]\mathbb{Z}_p[/tex]-sottospazi vettoriali nel modo ovvio.

[maurer]

In sostanza, sì.