Come risolvere questa tipologia di esercizi?
Devo prepararmi per un concorso in cui è prevista una prova di logica e non so come risolvere questa tipologia di esercizi:
trovare tutti gli $n$ naturali tali che $(n-6)|6n$. Si tratta di aritmentica modulare? Se si, mi consigliate una dispensa fatta per benino?
E poi, come mi posso esercitare per questo tipo di esercizi di logica? Avete materiale da consigliarmi per migliorare le mie capacità?
trovare tutti gli $n$ naturali tali che $(n-6)|6n$. Si tratta di aritmentica modulare? Se si, mi consigliate una dispensa fatta per benino?
E poi, come mi posso esercitare per questo tipo di esercizi di logica? Avete materiale da consigliarmi per migliorare le mie capacità?
Risposte
Non è questione di logica qui, si tratta di un problema di aritmetica. Piuttosto che dispense o libri ti consiglio di ragionare da solo, usando la definizione: un numero \(a\) *divide* un numero \(b\) (in simboli: \(a|b\))se esiste un numero \(k\) tale che
\[b=ak.\]
Applica questo al tuo problema e lavora di algebra e ragionamento.
\[b=ak.\]
Applica questo al tuo problema e lavora di algebra e ragionamento.
Allora vediamo di risolvere intanto questo (togliendo la soluzione banale $n=0$), in modo che tu possa vedere il procedimento.
Poniamo $(n-6)k=6n$ per un $k \in \mathbb{Z}$, sottraggo entrambi i membri per una quantità opportuna che faccia in modo di poter levare quel $6n$ a destra e ottenere un prodotto a sinistra. Questa quantità è $(n-6)6$, infatti
$$(n-6)k-(n-6)6=6n-(n-6)6 $$
a sinistra raccolgo per $(n-6)$ e diventa $(n-6)(k-6)$ e a destra svolgendo i calcoli si arriva alla seguente uguaglianza
$$(n-6)(k-6)=36$$
Ora quali sono i divisori (negativi e positivi) di 36? Vediamo che essi sono:
$\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm9,\pm12,\pm18,\pm36$
Ora è ovvio che se pongo $n-6=2$ allora $k-6=18$ ($18*2=36$), e vicerversa, cioè vengono fuori diversi sistemi di due equazioni con due variabili che ti risolvi tranquillamente. Poi se esiste una soluzione più svelta non lo so.
Poniamo $(n-6)k=6n$ per un $k \in \mathbb{Z}$, sottraggo entrambi i membri per una quantità opportuna che faccia in modo di poter levare quel $6n$ a destra e ottenere un prodotto a sinistra. Questa quantità è $(n-6)6$, infatti
$$(n-6)k-(n-6)6=6n-(n-6)6 $$
a sinistra raccolgo per $(n-6)$ e diventa $(n-6)(k-6)$ e a destra svolgendo i calcoli si arriva alla seguente uguaglianza
$$(n-6)(k-6)=36$$
Ora quali sono i divisori (negativi e positivi) di 36? Vediamo che essi sono:
$\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm9,\pm12,\pm18,\pm36$
Ora è ovvio che se pongo $n-6=2$ allora $k-6=18$ ($18*2=36$), e vicerversa, cioè vengono fuori diversi sistemi di due equazioni con due variabili che ti risolvi tranquillamente. Poi se esiste una soluzione più svelta non lo so.
"dan95":
Allora vediamo di risolvere intanto questo (togliendo la soluzione banale $n=0$), in modo che tu possa vedere il procedimento.
Poniamo $(n-6)k=6n$ per un $k \in \mathbb{Z}$, sottraggo entrambi i membri per una quantità opportuna che faccia in modo di poter levare quel $6n$ a destra e ottenere un prodotto a sinistra. Questa quantità è $(n-6)6$, infatti
$$(n-6)k-(n-6)6=6n-(n-6)6 $$
a sinistra raccolgo per $(n-6)$ e diventa $(n-6)(k-6)$ e a destra svolgendo i calcoli si arriva alla seguente uguaglianza
$$(n-6)(k-6)=36$$
Ora quali sono i divisori (negativi e positivi) di 36? Vediamo che essi sono:
$\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm9,\pm12,\pm18,\pm36$
Ora è ovvio che se pongo $n-6=2$ allora $k-6=18$ ($18*2=36$), e vicerversa, cioè vengono fuori diversi sistemi di due equazioni con due variabili che ti risolvi tranquillamente. Poi se esiste una soluzione più svelta non lo so.
Grazie
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