Che curva è?
C'è una curva che è uguale al luogp dei centri di curvatura nei vari suoi punti.
Quale curva è?
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Chi lo sa dimostri la detta notevole proprietà.
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Quale curva è?
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Chi lo sa dimostri la detta notevole proprietà.
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Risposte
Che ne so...un punto?
La cicloide
No non credo l'evoluta del cicloide è uguale al cicloide ma non coincide con questo.
P.s. non è un punto chiaramente (spero di non essere stato preso sul serio)
P.s. non è un punto chiaramente (spero di non essere stato preso sul serio)
"dan95":
Che ne so...un punto?
"Un punto" ... non è una curva (e non ha senso parlare di "centro di curvatura" di un punto).
[Occorre che la funzione $y(x)$ (quella dell'equazione esplicita $y = y(x)$ della "curva") abbia la derivata prima e la derivata seconda – diciamole $y'(x)$ e $y''(x)$.
Localmente (attorno ad un suo punto P), in prima approssimazione la curva è approssimata da un segmento della tangente in P.
In seconda approssimazione da un arco del "cerchio osculatore" in P (cioè: che combacia con la curva in P).
Il raggio di curvatura è il raggio del cerchio osculatore.
Il "centro di curvatura" in P è il centro del cerchio osculatore in P.
Se la curva non è proprio un arco di cerchio (o una circonferenza completa), al variare del punto P sulla curva il centro di curvatura C varia pure, descrivendo un'altra curva che è appunto il "luogo dei centri di curvatura" della data curva.
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Considera una "curva" ... che sia curva (attorno a P) nel senso comune della parola
. Prendi due punti della curva – diciamoli A e B – molto vicini a P, uno a destra e l'altro a sinistra.
Considera le perpendicolari alla curva per A e B (ossia la perpendicolare per A alla tangente in A e la perpendicolare per B alla tangente in B).
Le due perpendicolari si incontreranno in un punto C.
Al tendere simultaneo di A e B a P, le due perpendicolari tendono alla perpendicolare per P e C tende al "centro di curvatura" della data curva in P.
Se fai questo srivendo davvero le equazioni delle perpendicolari per A e B e fai davvero quel limite, dette $x$ e $y$ le coordinate di P e $X$ e $Y$ quelle del centro di curvatura C, trovi:
$X = x - y'.(1+(y')^2)/(y'')$;
$Y = y - y'.(1+(y')^2)/(y'')$
(dove $y'$ e $y''$ sono rispettivamente le derivate prima e seconda di $y(x)$ in $x$ che è l'ascissa di P).
Il raggio di curvatura in P (ossia del cerchio osculatore in P) viene dunque:
$r_P = sqrt((X-x)^2 + (Y-y)^2) = sqrt((i+y'^2)^3)/(|y''!)$.
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P.S.
Chiedo scusa.
Avevo iniziato questa risposta molto tempo fa, quando c'era solo la risposta che ho citato all'inizio di questo post.
Poi ho sospeso e infine ripreso senza vedereche intanto erano arrivate altre risposte.
"Vulplasir":
La cicloide
Ma ... occorre spiegare perché!
Ciao ciao
Non ho letto "uguale", allora sì il (o la) cicloide va bene. Ed esiste una curva che invece coincide con la sua evoluta? Il congetturo di no.
@erasmusfirst purtroppo non ne ho una dimostrazione
@dan95 anche la spirale logaritmica mi pare abbia la proprietà richiesta nel post, non so però se anche questa abbia l'evoluta coincidente con sè stessa oppure traslata. Forse @erasmuafirst può illuminarci a riguardo della spirale fornendoci una qualche dimostrazione
@dan95 anche la spirale logaritmica mi pare abbia la proprietà richiesta nel post, non so però se anche questa abbia l'evoluta coincidente con sè stessa oppure traslata. Forse @erasmuafirst può illuminarci a riguardo della spirale fornendoci una qualche dimostrazione
Una curva che coincida con la sua evoluta ha la proprietà che la retta normale in suo punto è tangente in un altro suo punto.
@erasmusfirst l'evoluta di una curva è per definizione il luogo geometrico dei centri di curvatura della curva, l'evolvente di una curva invece è la curva la cui evoluta è la curva stessa, quindi quella spirale di cui parli è la curva la cui evoluta è la circonferenza
"Vulplasir":
@erasmusfirst l'evoluta di una curva è per definizione il luogo geometrico dei centri di curvatura della curva, l'evolvente di una curva invece è la curva la cui evoluta è la curva stessa, quindi quella spirale di cui parli è la curva la cui evoluta è la circonferenza
Qua bisogna mettersi d'accordo sul vocabolario!
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Siccome "evolvere" in latino significa semplicemente "svolgere" (come si svolge un filo da un rocchetto) ... immaginiamo di avere un rocchetto cilindrico con avvolto un filo flessibile ma inestensibile e di spessore trascurabile. Tenendo fermo il rocchetto, svolgiamone il filo tenendolo teso e partendo da filo completamente avvolto. Bene: il "bandolo" del filo (che inizialmente parte radiale ma curva subito) descrive una specie di spirale che è detta – di questo sono certo! – "evolvente".
Ora, che curva era quella che è stata "svolta"? Era una circonferenza!
Ovviamente, in questo caso, la circonferenza "evoluta" è anche il luogo dei centri di curvatura della spirale evolvente.
Ma "il luogo dei centri di curtvatura di un'ellisse è una specie di asteroide ... che non riesco a concepire come "evoluta" di quell'ellisse.
Però: posso anche sbagliarmi.
Di certo è che i concetti di "evoluta" e "luogo ei centri di curvatura" sono ben distinti, abnche se magari (e sarebbe per me una scoperta!) i due luoghi coincidono.
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Checché ne dica Wikipedia, (che ho appena consultato e dice come hai detto tu in un articoletto lungo solo due righe) per me l'evoluta di quella spirale "evolvente" è la circonferenza che è stata "svolta" per fabbricare l'evolvente.
Mai sentito prima d'ora (ovviamente in gioventù, dato che poi non mi sono più occupato di questa geometria) che il luogo dei centri di curvatura di una curva si dica "evoluta" di quella curva.
E se invece modernamente si dice proprio così, mi rifiuto lo stesso di adottare questa accezione della parola "evoluta" (che è il participio passato di evolvere, e significa inconfondibilmente [curva che è stata] "svolta").
Per caso, ... non sarà mica una delle solitie orribili traslitterazioni dall'inglese, spero!
In altri casi ho viso dei veri obbrobri!
Perché quelli (anzi: gli yankees o peggio gli asiatici che vanno a lavorare in USA) illatino non lo sanno!
Metto qui l'immagine di un "paper" che ricava la curva LUOGO dei CENTRI di CURVATURA della cicloide, mostrando che è una cicloider uguale alla prima, ottenibile da quella per sola traslazione.
Interessante è non solo la discesa senza attrito su una cicloide con lsa concavità verso l'alto – che è la più rapida possibile, per cui la cicloide è detta anche brachistocrona –ma anche l'applicazione della cicloide nel "Pendolo di Huygens", quello con periodo iindipendente dalla massima elevazione del pendolo stesso, per cui la cicloide è anche detta "tautocrona".
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P.S.
Im effetti,in questo caso (ma solo in questo caso, non certo in generale) la cicloide in rosso è l'evoluta (proprio nel senso che dico io !
) della cicloide in blu, la quale è allora l'evolvente della cicloide in rosso.Ed è proprio questo che fa funzionare il Pendolo di Huygens.
Eh ma mica l'ho detto io che l'evoluta è il luogo geometrico dei centri di curvatura, è quello che dice qualsiasi testo sulle curve.
"Vulplasir":Ho visto l'articolo"Evolute" su Wikipedia in inglese, dove all'inizio è data la definizione di "evolute" con queste parole:
[...] che l'evoluta è il luogo geometrico dei centri di curvatura, è quello che dice qualsiasi testo sulle curve.
« [...] the evolute of a curve is the locus of all its centers of curvature. ».
Come avevo detto! Siamo ormai vittime di una vera colonizzazione culturale!
Continuo a ritenere che la definizione di evoluta" dovrebbe essere un'altra, e mi spiego con un paragone.
Tutti i triangoli con due lati uguali hanno anche due angoli uguali e viceversa.
Ma qual è la definizione di "triangolo isoscele"?
"Isoscele viene dal greco antico "isoskelès" che deriva da "ìsos" (= uguale) e "skélos" (=gamba). Isoscele, etimologicamente, sarebbe il triangolo "con le gambe uguali"! Giustamente il triangolo isoscele è definito come quello che ha due lati uguali, e non quello che ha due angoli uguali; e quest'ultima proprietà caratteristica è dimostrata con tanto di teorema diretto e teorema inverso.
Data una curva Γ[size=85]1[/size], questa è l'evoluta di un'altra curva Γ se è possibile tra Γ[size=85]1[/size] e Γ la relazione schematizzabile con quel processo meccanico in cui si "svolge" un filo che sta su un supporto fisso con la forma di Γ[size=85]1[/size] tenenendo teso il filo in modo che il "bandolo" mobile descrive un'altra curva, Γ appunto.
E' da notare che, data Γ[size=85]1[/size], se essa è l'evoluta di una certa curva Γ, allora è l'evoluta di infinite curve, per altro nemmeno geometricamente simili! La curva Γ di cui la data Γ[size=85]1[/size] è l'evoluta dipende infatti arbitrariamente dalla lunghezza iniziale de segmento con un estremo attaccato sulla convessità di Γ[size=85]1[/size] in un punto C nel quale il segmento è pure tangente a Γ[size=85]1[/size].
Viceversa, data Γ, è unica la sua evoluta; e la trova sfruttando la proprietà caratteristica dell'evoluta di essere il luogo dei centri di curvatura di Γ.
Metto una figura che illustra la relazione tra una ell'sse e l'asteroide luogo dei centri di curvatura dell'ellisse.
L'ellisse abbia diametro maggiore 2a e diametro minorte 2b. Allora l'ssteroide ha la diagonale parallela al diametro maggiore di lunghezza
$d_a = 2[a - b^2/a] = 2(a^2 - b^2)/a < 2a$
e la diagonale parallela al diametro minore di lunghezza
$d_b = 2[a^2/b - b] = 2(a^2 - b^2)/b > d_a$.
Come mostra la figura, si può pensare l'astertoide composto dall'unione di quattro archi ciascuno dei quali è l'evoluta di un quarto di ellisse.
[Per esempio, in figura l'arco BCD è l'evoluta del quarto di ellisse APF descritto da P in senso orario quando C descrive l'arco BCD andando da B a D]
Nella stessa figura (in cui è $a = 5$ e $b = 4$] sono annotate
• l'equazione cartesiana implicita dell'ellisse, cioè
$(x/a)^2 +(y/b)^2 = 1$;
• l'equazione cartesiana implicita dell'asteroide luogo dei centri di curvatura di quell'ellisse, cioè:
$[((ax)/(a^2-b^2))^2]^(1/3) + [((by)/(a^2-b^2))^2]^(1/3) = 1$.
Supponiamo che sia dato dapprima l'asteroide (con quella sua equazione). La curva di cui esso è l'evoluta dipende dalla lunghezza del segmento AB. Solo assumendo questo di lunghezza
AB = $b^2/a$
l'asteroide risulta l'evoluta di un'ellisse. Per diversa lunghezza di AB la curva di cui l'asteroide è evoluta è una curva chiusa di forma che assomiglia all'ellisse ma geometricamente diversa dall'ellisse.
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"Vulplasir":
La cicloide
Sì. Ma oggi ho scoperto che c'è un'altra curva uguale al luogo dei suoi centri di curvatura.
Qual è quest'altra?
E in che posizione sta rispetto ala curva il luogo dei suoi centri di curvatura?
Suggerimento.
Per la cicloide il luogo dei centri di curvatura si ottiene con una traslazione della cicloide stessa.
Per questa seconda curva ...con una rotazione.
Ciao, ciao
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In un precedente messaggio di questo post ho scritto che anche la spirale logaritmica possiede quella proprietà, se non è quella la curva di cui parli allora non ne conosco altre
"Vulplasir":Si vede che ho letto troppo in fretta, perché di questo non mi sono accorto.
In un precedente messaggio di questo post ho scritto che anche la spirale logaritmica possiede quella proprietà
Si: la spirale logaritmica. Mi pare che non ce ne sono altre
Ma ... è troppo poco dire così!
Sarebbe completa una risposta con le equazioni di due spirali logaritmiche uguali di una è il luogo dei centri di curvatura dell'altra, ma non viceversa!
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Una spirale ha un centro, diciamolo O (come origine). Sia P un punto qualsiasi della spirale.
La semiretta per P di origine O ha una certa inclinazione sulla tangente alla spirale per P. Proprietà caratteristica della spirale logaritmica è che questa inclinazione è costante, ossia la stessa in qualsiasi punto P (ovviamente diversa da π/2).
Quanto è questa inclinazione nel caso della spirale logaritmica in questione?
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Ciao, ciao
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