Cardinalità infinite.
espongo una congettura che ho fatto sulle cardinalità infinite;è da mesi che cerco di provarla ma senza risultati.
premetto che voglio assumere l'assioma della scelta, ma non voglio assumere l'ipotesi del continuo generalizzata(o il problema diventa banale).
ultima precisazione: se A e B sono insiemi infiniti, denoto con $A^B$ l'insieme contenente tutte le funzioni definite in B con immagine in A
ipotesi: siano A,B,C insiemi di cardinalità infinita tali che $|A|<=|B|$ e $|A^C|=|A|$
tesi: allora $|B^C|=|B|$
questa congettura mi interessa perchè,se fosse vera,allora avremmo questa fighissima relazione per ogni X e Y infiniti:
$|X^Y|=|XxxP(Y)|$
(dove con $XxxP(Y)$ intendo il prodotto cartesiano tra X e l'insieme delle parti di Y)
premetto che voglio assumere l'assioma della scelta, ma non voglio assumere l'ipotesi del continuo generalizzata(o il problema diventa banale).
ultima precisazione: se A e B sono insiemi infiniti, denoto con $A^B$ l'insieme contenente tutte le funzioni definite in B con immagine in A
ipotesi: siano A,B,C insiemi di cardinalità infinita tali che $|A|<=|B|$ e $|A^C|=|A|$
tesi: allora $|B^C|=|B|$
questa congettura mi interessa perchè,se fosse vera,allora avremmo questa fighissima relazione per ogni X e Y infiniti:
$|X^Y|=|XxxP(Y)|$
(dove con $XxxP(Y)$ intendo il prodotto cartesiano tra X e l'insieme delle parti di Y)
Risposte
up
ciao!
premetto che ho una vaga idea di ciò di cui stai parlando e non sono minimamente capace di risponderti. avrei una domanda, così magari inziamo ad ottenere un po' di attenzione per questo post.
potresti farmi un esempio di insiemi $A,C$ di cardinalità infinita tali che $|A^C| = |A|$.
Io ho tentato di farmi un esempio nella testa con l'insieme infinito più piccolo che conosco: $A = NN, C = NN$ ma in tal caso l'insiene delle funzioni $f: NN \mapsto NN$ (ovvero le successioni a valori naturali, giusto?) è isomorfo a $[0,1]$.
qui mi sono bloccato.
grazie!
premetto che ho una vaga idea di ciò di cui stai parlando e non sono minimamente capace di risponderti. avrei una domanda, così magari inziamo ad ottenere un po' di attenzione per questo post.
potresti farmi un esempio di insiemi $A,C$ di cardinalità infinita tali che $|A^C| = |A|$.
Io ho tentato di farmi un esempio nella testa con l'insieme infinito più piccolo che conosco: $A = NN, C = NN$ ma in tal caso l'insiene delle funzioni $f: NN \mapsto NN$ (ovvero le successioni a valori naturali, giusto?) è isomorfo a $[0,1]$.
qui mi sono bloccato.
grazie!
è normale che ti sia bloccato: $|NN^NN| = |RR|$; in generale $|X^X|=|P(X)|$
credo che l'unico esempio con insiemi "semplici" sia $|RR^NN|=|RR|$
in ogni caso,anche io non ho che una vaga idea di quello che sto parlando; ma l'argomento mi affascina non poco,e mi fa piacere approfondirlo.
purtroppo non conosco testi che lo trattino adeguatamente(in genere c'è giusto qualche accenno nei primi capitoli dei libri di algebra di base) quindi quasi tutto quello che so me lo sono ricavato per conto mio;per questo quello che so è relativamente poco XD
credo che l'unico esempio con insiemi "semplici" sia $|RR^NN|=|RR|$
in ogni caso,anche io non ho che una vaga idea di quello che sto parlando; ma l'argomento mi affascina non poco,e mi fa piacere approfondirlo.
purtroppo non conosco testi che lo trattino adeguatamente(in genere c'è giusto qualche accenno nei primi capitoli dei libri di algebra di base) quindi quasi tutto quello che so me lo sono ricavato per conto mio;per questo quello che so è relativamente poco XD
"paolo.papadia":Come lo dimostri questo?
$|RR^NN|= |(NN^NN)^NN|$
se $|A|=|B|$, allora $|A^C|=|B^C|$
quindi se $|R|=|N^N|$ sono a posto.
ricordo che $|RR|=|P(NN)|$
dobbiamo quindi valutare la cardinalità dell'insieme delle funzioni da $NN$ in $NN$.
facciamo prima la parte semplice:
$|NN^NN|>=|P(NN)|$
basta costruire una funzione $A=A(f)$ da $NN^NN$ in $P(NN)$ suriettiva.
basta considerare l'applicazione che manda una generica funzione da $NN$ in $NN$ nell'insieme dei suoi punti fissi.
è chiaramente suriettiva.
$|NN^NN|<=|P(NN)|$
sicchè $|NN x NN|=|NN|$, $|P(NNxNN)|=|P(NN)|$
quindi posso ridurmi a dimostrare $|NN^NN|<=|P(NNxNN)|$
lo faccio costruendo una funzione $A=A(f)$ iniettiva da $NN^NN$ in $P(NNxNN)$
$A$ manda una generica funzione $f$($f$ è un elemento di $NN^NN$ quindi una funzione da $NN$ in $NN$) nel sottoinsieme $A(f)$ di $NNxNN$ cosi definito:
$A(f)$ contiente tutte le coppie del tipo $(n,f(n))$ per ogni $n$(appartenente ad n).
è ovviamente iniettiva,poichè se $A(f1)=A(f2)$ abbiamo che per ogni $n$ $f1(n)=f2(n)$ quindi $f1=f2$
spero di non aver fatto errori; in ogni caso voglio far notare che questa dim è valida per ogni $X$ infinito,in quanto non ho mai utilizzato la numerabilità di $NN$(con l'assioma della scelta vale $|X x X| = |X|$ per ogni $X$ infinito)
quindi se $|R|=|N^N|$ sono a posto.
ricordo che $|RR|=|P(NN)|$
dobbiamo quindi valutare la cardinalità dell'insieme delle funzioni da $NN$ in $NN$.
facciamo prima la parte semplice:
$|NN^NN|>=|P(NN)|$
basta costruire una funzione $A=A(f)$ da $NN^NN$ in $P(NN)$ suriettiva.
basta considerare l'applicazione che manda una generica funzione da $NN$ in $NN$ nell'insieme dei suoi punti fissi.
è chiaramente suriettiva.
$|NN^NN|<=|P(NN)|$
sicchè $|NN x NN|=|NN|$, $|P(NNxNN)|=|P(NN)|$
quindi posso ridurmi a dimostrare $|NN^NN|<=|P(NNxNN)|$
lo faccio costruendo una funzione $A=A(f)$ iniettiva da $NN^NN$ in $P(NNxNN)$
$A$ manda una generica funzione $f$($f$ è un elemento di $NN^NN$ quindi una funzione da $NN$ in $NN$) nel sottoinsieme $A(f)$ di $NNxNN$ cosi definito:
$A(f)$ contiente tutte le coppie del tipo $(n,f(n))$ per ogni $n$(appartenente ad n).
è ovviamente iniettiva,poichè se $A(f1)=A(f2)$ abbiamo che per ogni $n$ $f1(n)=f2(n)$ quindi $f1=f2$
spero di non aver fatto errori; in ogni caso voglio far notare che questa dim è valida per ogni $X$ infinito,in quanto non ho mai utilizzato la numerabilità di $NN$(con l'assioma della scelta vale $|X x X| = |X|$ per ogni $X$ infinito)
Si, ok, ho capito. Mi convince. Non sono un esperto di queste cose, però: a me sembra giusto ma sono argomenti molto insidiosi e a volte anche decisamente controintuitivi. Quindi non ti fidare troppo del mio giudizio!
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