Calcolare una particolare serie numerica

[Erasmus_First]

–––> Quiz 19 luglio.2017.png

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[dan952]

Un hint

[j18eos]

Facendo i calcoli a mente, a me viene una serie indeterminata...

[totissimus]

La serie è assolutamente convergente infatti:

$a_n=\frac{(2n)!}{(2n-1)2^{2n}(n!)^2}$

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2n-1}{2n+2}$

$\Lim_{x->\infty}n(1-\frac{a_{n+1}}{a_n})=Lim_{x->\infty}\frac{3n}{2n+2}=\frac{3}{2}>1$

Quindi la convergenza assoluta della serie per il criterio di Raabe.

[totissimus]

I termini della serie sono i coefficienti dello sviluppo in serie di Taylor della funzione $\sqrt{1+x}$

[Erasmus_First]

[ot]Edito per modificare.
Chiedo scusa, ritiro quello che avevo scritto ... e modifico profondamente il testo del presente messaggio.[/ot]

Il quiz mi è venuto come sottoprodotto dello sviluppo in serie di Fourier della funzione
$arctan[sin(x)]$.
Volevo sapere se esisteva una dimostrazione più sbrigativa di quella che che deriva appunto dal fatto che il quiz è un sottoprodotto di un altro problema.

"totissimus":I termini della serie sono i coefficienti dello sviluppo in serie di Taylor della funzione $\sqrt(1+x)$

Fuoco, fuoco!
[Ma non ancora esattamente centro!]

@ totissimus
a) Si può trovare il limite della serie numerica in questione sperimentalmente (facendo cioè la somma di un numero abbastanza grande di termini).
E si trova che il limite vale $0,41421356... ≈ sqrt2-1$.
Si tratta allora di dimostrare che davvero la serie converge a $sqrt2 - 1$.
b) Vedi che lo sviluppo in serie di potenze di $x$ della funzione $sqrt(1+x)$ incomicia col termine di grado 0 che vale 1.
Invece la serie numerica in questione incomincia col termine di indice $n=1$ che vale 1/2.
In generale, lo sviluppo in serie di Mc Laurin di una funzione $f(x)$ continua ed indefinitamente derivabile in $x=0$ (ossia: sviluppo in serie di Taylor in $x_0=0$) incomincia con $f(0)$, che nel tuo caso vale 1.
Se nella serie numerica in questione moltiplichì il generico termine di indice $n$ per $x^n$, ti manca un 1 per avere lo sviluppo in serie di potenze di $sqrt(1+x)$.
Insomma: ti manca il termine di grado 0, oppure c'è ma vale 0 invece di valere 1.
Ti basta allora sottrarre 1 alla tua funzione ... e hai fatto centro!
[Allora infatti non cambiano le derivate, e con esse non cambiano i coefficienti dei termini di grado maggiore di 0].

Ecco trovata la dimostrazione che cercavo!
I termini della serie numerica in questione – non lo sapevo, lo imparo adesso da te! – sono i coefficienti dello sviluppo in serie di poteze di $x$ della funzione:
$f(x) = sqrt(1+x)$ $-1$.
Pertando la serie numerica in questione è il valore della funzione
$f(x)=sqrt(1+x) - 1$ in $x=1$.
Il limite della serie è dunque:
$f(1) = sqrt(1+1)-1 = sqrt2 - 1 ≈ 0,4142135623731$.
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Rimetto il "paper" (in formato immagine PNG) che avevo messo come dimostrazione del fatto che la serie in questione tende a $sqrt2 - 1$; ma ho ridotto le dimensioni dell'immagine (perché prima non ci stava tutta, non se ne poteva leggere la parte di destra), in modo che l'immagine ci stia tutta intera

––> Soluzione_vecchia.png