Automorfismi di gruppi si estendono?

[paolo.papadia]

è un po che ci penso,senza risultati.
siano $H è vero che, per ogni automorfismo $g$ di $H$, esista almeno un automorfismo $f$ di $G$ tale che $f(H)=H$ e $f(x)=g(x)$ per ogni $x$ in $H$?

[vict85]

"paolo.papadia":è un po che ci penso,senza risultati.
siano $H è vero che, per ogni automorfismo $g$ di $H$, esista almeno un automorfismo $f$ di $G$ tale che $f(H)=H$ e $f(x)=g(x)$ per ogni $x$ in $H$?

Quali automorfismi sia estendibili penso sia una risposta ancora aperta. D'altra parte penso che la risposta alla domanda generale sia falsa. O meglio è possibile che gli unici automorfismi che sono sicuramente estendibili siano quelli interni. http://www.cmi.ac.in/~vipul/unsolvedpro ... phisms.pdf

[Studente Anonimo]

Un controesempio è il seguente. Prendiamo [tex]P[/tex] un [tex]2[/tex]-sottogruppo di Sylow di [tex]S_4[/tex]. E' noto che [tex]P \cong D_8[/tex] (il gruppo diedrale di ordine otto) ha otto automorfismi (e anzi [tex]\text{Aut}(D_8) \cong D_8[/tex]: cfr. qui(1) e qui(2)), quindi in particolare ammette automorfismi esterni (essendo [tex]D_8/Z(D_8) \cong C_2 \times C_2[/tex]). Ma gli automorfismi di [tex]S_4[/tex] sono tutti interni (cfr. qui: segue dal fatto che [tex]\text{Aut}(S_4)[/tex] agisce fedelmente sui quattro sottogruppi di [tex]S_4[/tex] di indice quattro, cioè gli stabilizzatori dei punti) e [tex]P[/tex] si auto-normalizza in [tex]S_4[/tex] (coincide col suo normalizzante, dato che il suo indice coincide col numero dei suoi coniugati), quindi tutti gli automorfismi di [tex]P[/tex] indotti da quelli di [tex]S_4[/tex] sono interni.

Il controesempio più piccolo è il seguente. Sia [tex]V[/tex] un qualsiasi sottogruppo di [tex]D_8[/tex] isomorfo a [tex]C_2 \times C_2[/tex]. [tex]\text{Aut}(V) = GL(2,2) \cong S_3[/tex] agisce transitivamente sugli elementi non identici di [tex]V[/tex] (esercizio elementare di algebra lineare: se [tex]V[/tex] è uno spazio vettoriale allora [tex]GL(V)[/tex] agisce transitivamente su [tex]V-\{0\}[/tex]), mentre [tex]\text{Aut}(D_8)[/tex] no, dato che per esempio il centro di [tex]D_8[/tex] è caratteristico e contenuto in [tex]V[/tex] (cfr. qui).

[paolo.papadia]

grazie, esaurienti e veloci come sempre! XD