Assioma della scelta e gruppi
L'assioma della scelta e' equivalente all'asserto seguente:
Ogni insieme non vuoto ammette una struttura di gruppo.
Sono incorso in questo bel risultato tempo fa, e ora ho (involontariamente) dimenticato come si dimostra. Ci penso. Voi come lo fareste?
Ogni insieme non vuoto ammette una struttura di gruppo.
Sono incorso in questo bel risultato tempo fa, e ora ho (involontariamente) dimenticato come si dimostra. Ci penso. Voi come lo fareste?
Risposte
Io lo farei seguendo la costruzione di gruppo libero delle parole dell'insieme. Faccio un esempio con alcuni funtori:
Sia [tex]\mathcal J[/tex] una categoria piccola (risp. discreta) allora posso costruire un gruppo a partire da questa caegoria mediante un funtore [tex]\mathcal F: \mathcal J \rightarrow \mathbf{Set}[/tex]. Sia [tex]\mathcal J = \mathbb Z[/tex] (risp. [tex]\mathbb Z_n[/tex], con [tex]n[/tex] la cardinalità dell'insieme), allora posso costruire un gruppo (additivo) nella seguente maniera:
[tex]\mathcal F(j)= X_j \in \mathbf{Set}[/tex]
Definisco l'operazione [tex]\star[/tex] come segue:
[tex]X_i \star X_j = X_{i+j}[/tex]
[tex]X_i^{-1} = X_{-i}[/tex]
con le ovvie proprietà di gruppo che ne discendono (l'elemento neutro è [tex]X_0[/tex] e via discorrendo). L'assioma della scelta interviene nella scelta degli elementi a cui assegnare le varie immagini.
Unica richiesta iniziale in questa costruzione è la conoscenza della cardinalità dell'insieme dato. Se questo insieme non fosse numerabile basterebbe scegliere un altro insieme di indici con la stessa cardinalità.
Sia [tex]\mathcal J[/tex] una categoria piccola (risp. discreta) allora posso costruire un gruppo a partire da questa caegoria mediante un funtore [tex]\mathcal F: \mathcal J \rightarrow \mathbf{Set}[/tex]. Sia [tex]\mathcal J = \mathbb Z[/tex] (risp. [tex]\mathbb Z_n[/tex], con [tex]n[/tex] la cardinalità dell'insieme), allora posso costruire un gruppo (additivo) nella seguente maniera:
[tex]\mathcal F(j)= X_j \in \mathbf{Set}[/tex]
Definisco l'operazione [tex]\star[/tex] come segue:
[tex]X_i \star X_j = X_{i+j}[/tex]
[tex]X_i^{-1} = X_{-i}[/tex]
con le ovvie proprietà di gruppo che ne discendono (l'elemento neutro è [tex]X_0[/tex] e via discorrendo). L'assioma della scelta interviene nella scelta degli elementi a cui assegnare le varie immagini.
Unica richiesta iniziale in questa costruzione è la conoscenza della cardinalità dell'insieme dato. Se questo insieme non fosse numerabile basterebbe scegliere un altro insieme di indici con la stessa cardinalità.
Non capisco bene. Mi sembra che nel tuo ragionamento tu prendi un gruppo [tex]J[/tex] della stessa cardinalita' del tuo insieme [tex]X[/tex] (a cui vuoi dare struttura di gruppo) e poi trasporti la struttura. Ok, ma questo non risolve il problema, ovviamente. Non puoi assumere di essere capace di dare una struttura di gruppo ad ogni insieme di cardinalita' fissata (il tuo [tex]J[/tex]), perche' e' proprio questo che bisogna dimostrare.
Per dire, per insiemi di cardinalita' al piu' [tex]|\mathbb{R}|[/tex] non serve l'assioma della scelta, dato che se X e' finito prendi una biiezione [tex]f:X \to \mathbb{Z}_n[/tex], se e' numerabile prendi una biiezione [tex]f:X \to \mathbb{Z}[/tex], se ha la cardinalita' di [tex]\mathbb{R}[/tex] prendi una biiezione [tex]f:X \to \mathbb{R}[/tex], e in tutti e tre i casi trasporti la struttura (definisci cioe' [tex]x \star y := f^{-1}(f(x)+f(y))[/tex]). Ma come fai nel caso generale?
Per dire, per insiemi di cardinalita' al piu' [tex]|\mathbb{R}|[/tex] non serve l'assioma della scelta, dato che se X e' finito prendi una biiezione [tex]f:X \to \mathbb{Z}_n[/tex], se e' numerabile prendi una biiezione [tex]f:X \to \mathbb{Z}[/tex], se ha la cardinalita' di [tex]\mathbb{R}[/tex] prendi una biiezione [tex]f:X \to \mathbb{R}[/tex], e in tutti e tre i casi trasporti la struttura (definisci cioe' [tex]x \star y := f^{-1}(f(x)+f(y))[/tex]). Ma come fai nel caso generale?
http://mathoverflow.net/questions/12973 ... ture-in-zf
e
http://groups.google.com/group/sci.math ... 00dfacb6ed
(dedotto dal primo link riportato)
e
http://groups.google.com/group/sci.math ... 00dfacb6ed
(dedotto dal primo link riportato)
"Martino":
Non capisco bene. Mi sembra che nel tuo ragionamento tu prendi un gruppo [tex]J[/tex] della stessa cardinalita' del tuo insieme [tex]X[/tex] (a cui vuoi dare struttura di gruppo) e poi trasporti la struttura. Ok, ma questo non risolve il problema, ovviamente.
A me non risulta ovvio... secondo me lo risolve definitivamente! Spiegami il tuo punto di vista per piacere.
Non puoi assumere di essere capace di dare una struttura di gruppo ad ogni insieme di cardinalita' fissata (il tuo [tex]J[/tex]), perche' e' proprio questo che bisogna dimostrare.
Non l'ho assunto, l'ho costruito e se costruisco indipendentemente le strutture di gruppo, sono comunque in grado di darle ad altri insiemi.
Per dire, per insiemi di cardinalita' al piu' [tex]|\mathbb{R}|[/tex] non serve l'assioma della scelta, dato che se X e' finito prendi una biiezione [tex]f:X \to \mathbb{Z}_n[/tex], se e' numerabile prendi una biiezione [tex]f:X \to \mathbb{Z}[/tex], se ha la cardinalita' di [tex]\mathbb{R}[/tex] prendi una biiezione [tex]f:X \to \mathbb{R}[/tex], e in tutti e tre i casi trasporti la struttura (definisci cioe' [tex]x \star y := f^{-1}(f(x)+f(y))[/tex]). Ma come fai nel caso generale?
In ogni caso l'assioma della scelta lo usi per dare un arbitrario valore alla tua funzione, il caso generale è solo una problematica di "conteggio" degli elementi dell'insieme di partenza, visto che poi la definizione che ho dato esaurisce tutti i casi e lascia l'insieme con la struttura di gruppo.
"Lord K":A me non risulta ovvio... secondo me lo risolve definitivamente! Spiegami il tuo punto di vista per piacere.[/quote]Stai usando un principio "giuridico" (di cui non ricordo il nome) al contrario. Sei tu che non hai giustificato a sufficienza le tue affermazioni, non io che non le ho contraddette con abbastanza decisione. Come fai a dare una struttura di gruppo ad un insieme di cardinalita' strettamente piu' grande a quella di [tex]\mathbb{R}[/tex] (per esempio)? Questo non credo che tu l'abbia chiarito. Tu hai solo detto
[quote="Martino"]Non capisco bene. Mi sembra che nel tuo ragionamento tu prendi un gruppo [tex]J[/tex] della stessa cardinalita' del tuo insieme [tex]X[/tex] (a cui vuoi dare struttura di gruppo) e poi trasporti la struttura. Ok, ma questo non risolve il problema, ovviamente.
Se questo insieme non fosse numerabile basterebbe scegliere un altro insieme di indici con la stessa cardinalità.Ma tu nel tuo esempio avevi una struttura di gruppo sull'insieme di indici, mentre in generale non l'hai.
"Fioravante Patrone":Proprio qui l'ho preso !
http://mathoverflow.net/questions/12973/does-every-non-empty-set-admit-a-group-structure-in-zf
Se prendo [tex]J \subset \mathbf{Grp}[/tex] risolvo. In ogni caso si può dimostrare come le costruzioni di insiemi strutturati sono indipendenti da ZFC.
"Lord K":Scusa la franchezza, ma non potevi essere meno chiaro. Potresti dirmi come fai a generalizzare il tuo argomento a un [tex]J[/tex] qualunque?
Se prendo [tex]J \subset \mathbf{Grp}[/tex] risolvo. In ogni caso si può dimostrare come le costruzioni di insiemi strutturati sono indipendenti da ZFC.
L'idea di base è costruire dei gruppi che possano trasferire le loro proprietà in un insieme qualsiasi mediante il funtore di cui sopra, per fare questo ho necessità di partire dagli assiomi di ZFC e, senza l'assioma della scelta, costruire [tex]\mathbb{N}[/tex] poi [tex]\mathbb{Z}[/tex], [tex]\mathbb{Z_n}[/tex] e poi tutti gli altri, compresi [tex]\mathbb{R}[/tex] (la costruzione di questo comporta una costruzione non passante per le sezioni di Dedekind) e [tex]\mathbb{C}[/tex].
Se ho come base tutte le strutture con un numero di elementi finiti, oppure [tex]\aleph_0[/tex], [tex]\aleph_1[/tex] posso costruire tutte le altre strutture con [tex]\aleph_n[/tex], con [tex]n[/tex] qualsiasi.
Una volta che so il numero di elementi dell'insieme di cui devo costruire la struttura, determino dove va a finire l'elemento neutro mediante [tex]\mathcal F[/tex] e tutto il resto lo fa il funtore con opportune scelte (opportune perchè deve essere iniettiva) e poi ottengo un gruppo sempre seguendo la traccia sopra.
Se ho come base tutte le strutture con un numero di elementi finiti, oppure [tex]\aleph_0[/tex], [tex]\aleph_1[/tex] posso costruire tutte le altre strutture con [tex]\aleph_n[/tex], con [tex]n[/tex] qualsiasi.
Una volta che so il numero di elementi dell'insieme di cui devo costruire la struttura, determino dove va a finire l'elemento neutro mediante [tex]\mathcal F[/tex] e tutto il resto lo fa il funtore con opportune scelte (opportune perchè deve essere iniettiva) e poi ottengo un gruppo sempre seguendo la traccia sopra.
"Lord K":Mi sembra un po' "sibillino". Io continuo a non capire perché non espliciti dove viene usato l'assioma della scelta nel tuo argomento (che ad essere sincero non ho ancora capito, né ho capito che necessità ci sia di usare il linguaggio delle categorie).
tutto il resto lo fa il funtore con opportune scelte
"Lord K":Ti faccio osservare che senza l'ipotesi del continuo generalizzata non tutti i cardinali sono del tipo [tex]\aleph_n[/tex].
Se ho come base tutte le strutture con un numero di elementi finiti, oppure [tex]\aleph_0[/tex], [tex]\aleph_1[/tex] posso costruire tutte le altre strutture con [tex]\aleph_n[/tex], con [tex]n[/tex] qualsiasi.
"Martino":Mi sembra un po' "sibillino". Io continuo a non capire perché non espliciti dove viene usato l'assioma della scelta nel tuo argomento (che ad essere sincero non ho ancora capito, né ho capito che necessità ci sia di usare il linguaggio delle categorie).
[quote="Lord K"]tutto il resto lo fa il funtore con opportune scelte
[/quote]
Le categorie sono necessarie perchè sono l'ambito ove lavoro ed il modo a me più semplice per definire il tutto...
"Lord K":Ti faccio osservare che senza l'ipotesi del continuo generalizzata non tutti i cardinali sono del tipo [tex]\aleph_n[/tex].
Se ho come base tutte le strutture con un numero di elementi finiti, oppure [tex]\aleph_0[/tex], [tex]\aleph_1[/tex] posso costruire tutte le altre strutture con [tex]\aleph_n[/tex], con [tex]n[/tex] qualsiasi.
Ti faccio una domanda. Dato un numero cardinale, esiste un gruppo con quel numero di elementi?
"Lord K":Questa domanda è equivalente alla seguente: "è vero che ogni insieme ammette una struttura di gruppo?". Cioè quella la cui risposta dobbiamo dimostrare essere "se e solo se vale l'assioma della scelta".
Dato un numero cardinale, esiste un gruppo con quel numero di elementi?
Ci sto ancora pensando
"Lord K":La dimostrazione di killing_buddha mi convince, anche se sembra tacere l'utilizzo dell'assioma della scelta nel lemma della banana antisemita.
Amici rispondono così al tuo quesito...
Ma li' viene mostrata solo una delle due implicazioni. Resta da mostrare che se ad ogni insieme possiamo dare struttura di gruppo allora vale l'assioma della scelta. Cosa che peraltro viene fatta in mathoverflow nel collegamento inserito da Fioravante.
Ma li' viene mostrata solo una delle due implicazioni. Resta da mostrare che se ad ogni insieme possiamo dare struttura di gruppo allora vale l'assioma della scelta.
Ti sbagli, e' stato fatto subito dopo:
Teorema 1 Se ogni insieme [tex]G \neq \emptyset[/tex] è il supporto di un gruppo, allora vale l'assioma della scelta.
Dimostrazione Sia [tex]\kappa(G)[/tex] il numero di Hartogs di [tex]G[/tex] (che è noto esistere in ZF), ovvero il piú piccolo ordinale tale che non esiste una funzione iniettiva [tex]\kappa(G) \hookrightarrow G[/tex]. Senza perdere generalità supponiamo che [tex]G[/tex] non sia un ordinale, nè contenga ordinali, in modo tale da essere disgiunto da [tex]\kappa(G)[/tex] (in caso contrario dovremmo considerare l'unione disgiunta, ma i dettagli tecnici ci annoierebbero a morte). Sia allora [tex]\ast[/tex] l'operazione di gruppo su [tex]G \cup \kappa(G)[/tex]. Notiamo che [tex]\forall g \in G[/tex] deve esistere un [tex]h \in \kappa(G)[/tex] tale che [tex]g \ast h \in \kappa(G)[/tex], altrimenti [tex]h \mapsto g \ast h[/tex] sarebbe iniettiva. Sia allora [tex]\leq[/tex] l'ordine lessicografico indotto da [tex](\kappa(G), \leq)[/tex] su [tex]\kappa(G)^2[/tex]. Associamo ad ogni [tex]g \in G[/tex] il piú piccolo elemento [tex](h,k) \in \kappa(G)^2[/tex] tale che [tex]g \ast h = k[/tex]. Questa è una funzione (chiamiamola [tex]\varphi[/tex]) iniettiva e quindi induce su [tex]G[/tex] il buon ordinamento [tex]g \leq g' \ \Leftrightarrow \varphi(g) \leq \varphi(g')[/tex]. Allora ho appena dimostrato che un insieme non vuoto [tex]G[/tex] può essere ben ordinato, risultato che è notoriamente equivalente all'assioma della scelta.
voglio fare un'osservazione sul problema.
se assumiamo l'ipotesi del continuo generalizzata,abbiamo che ogni insieme non vuoto ammette una struttura di gruppo.
ma se questa affermazione(ogni insieme non vuoto ammette struttura di gruppo) è equivalente all'assioma della scelta, allora possiamo concludere che l'ipotesi del continuo generalizzata implica l'assioma della scelta.
è questo passaggio che non mi convince,piu che altro non mi convince la tesi; magari poi è vera,ma io sta cosa non l'avevo mai sentita.
qualcuno può confermare quello che ho scritto(o segnalarmi l'eventuale errore delle mie considerazioni?)
se assumiamo l'ipotesi del continuo generalizzata,abbiamo che ogni insieme non vuoto ammette una struttura di gruppo.
ma se questa affermazione(ogni insieme non vuoto ammette struttura di gruppo) è equivalente all'assioma della scelta, allora possiamo concludere che l'ipotesi del continuo generalizzata implica l'assioma della scelta.
è questo passaggio che non mi convince,piu che altro non mi convince la tesi; magari poi è vera,ma io sta cosa non l'avevo mai sentita.
qualcuno può confermare quello che ho scritto(o segnalarmi l'eventuale errore delle mie considerazioni?)
mi è stato confermato che l'ipotesi del continuo generalizzata implica l'assioma della scelta.
tornando al problema,mi è venuta in mente una dimostrazione piuttosto banale di una implicazione del problema,cosi banale che penso ci sia qualche errore sottile alla base,ma non riesco ad individuarlo.
supponiamo che ogni insieme non vuoto sia la struttura di un gruppo.
consideriamo una famiglia di insiemi $F$ non vuota, e l'insieme $U$ costituito dall'unione di tutti gli $A_i in F$.
diamo ad ogni $A_i$(supponendo non sia vuoto) un'operazione $+_i$ tale che $(A_i,+_i,0_i)$ sia un gruppo con elemento neutro $0_i$.
ma allora possiamo definire un funzione $g:FrarrU$ in questo modo:
$g(A_i)=0_i$
e se prendiamo questa forma dell'assioma della scelta:
"Data una famiglia non vuota di insiemi non vuoti esiste una funzione che ad ogni insieme della famiglia fa corrispondere un suo elemento"
notiamo che la funzione g è la funzione cercata, e noi ne garantiamo l'esistenza; quindi l'assioma della scelta è verificato.
in altre parole non faccio altro che "copiare" la dimostrazione che il buon ordinamento implica l'assioma della scelta(in quel caso si manda ogni insieme nel suo minimo).
è corretta?
EDIT:
se a qualcuno interessa,non è corretta; utilizzo l'assioma della scelta in questo passaggio:
se consideriamo per ogni $A_i$ l'insieme $O_i$ di tutte le operazioni che rendono $A_i$ gruppo, e la famiglia $K$ contenente tutti gli $O_i$, notiamo che "scegliere un'operazione" su $A_i$ equivale a definire una funzione $g:Krarruuu_{i in I}O_i$ tale che $g(O_i)inO_i$,cosa che non possiamo fare senza assumere AS.
tornando al problema,mi è venuta in mente una dimostrazione piuttosto banale di una implicazione del problema,cosi banale che penso ci sia qualche errore sottile alla base,ma non riesco ad individuarlo.
supponiamo che ogni insieme non vuoto sia la struttura di un gruppo.
consideriamo una famiglia di insiemi $F$ non vuota, e l'insieme $U$ costituito dall'unione di tutti gli $A_i in F$.
diamo ad ogni $A_i$(supponendo non sia vuoto) un'operazione $+_i$ tale che $(A_i,+_i,0_i)$ sia un gruppo con elemento neutro $0_i$.
ma allora possiamo definire un funzione $g:FrarrU$ in questo modo:
$g(A_i)=0_i$
e se prendiamo questa forma dell'assioma della scelta:
"Data una famiglia non vuota di insiemi non vuoti esiste una funzione che ad ogni insieme della famiglia fa corrispondere un suo elemento"
notiamo che la funzione g è la funzione cercata, e noi ne garantiamo l'esistenza; quindi l'assioma della scelta è verificato.
in altre parole non faccio altro che "copiare" la dimostrazione che il buon ordinamento implica l'assioma della scelta(in quel caso si manda ogni insieme nel suo minimo).
è corretta?
EDIT:
se a qualcuno interessa,non è corretta; utilizzo l'assioma della scelta in questo passaggio:
diamo ad ogni $A_i$(supponendo non sia vuoto) un'operazione $+_i$ tale che $(A_i,+_i,0_i)$ sia un gruppo con elemento neutro $0_i$.
se consideriamo per ogni $A_i$ l'insieme $O_i$ di tutte le operazioni che rendono $A_i$ gruppo, e la famiglia $K$ contenente tutti gli $O_i$, notiamo che "scegliere un'operazione" su $A_i$ equivale a definire una funzione $g:Krarruuu_{i in I}O_i$ tale che $g(O_i)inO_i$,cosa che non possiamo fare senza assumere AS.
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