Area d'un settore ellittico.
Ciao ciao
Risposte
Lo direi più adatto alla scuola secondaria.
"orsoulx":Non sono d'accordo!
Lo direi più adatto alla scuola secondaria.
Sono in pensione da 20 anni: ma per tutto l'arco della mia lunga esperienza (di circa 40 anni, tra insegnamento e qualche lezione privata) non ho mai visto usare nella scuola "secondaria" le funzioni inverse del seno e del coseno.
La schiacciatina (o la stiracchiatura in direzione perpendicolare) [per far diventare un cerchio l'ellisse] è necessaria ma non "basta"! (contrariamente a quel che dici espressamente).
Hai provato a portare a termine l'espressione di quest'area?
Ancorché i ragazzi delle attuali secondarie fossero stati educati all'uso dell'arco-coseno, qua [chiamando per comodità x l'anomalia e indicando con $e$ l'eccentricità c/a] compare la funzione
$arccos[(cos(x) – e)/(1 – e·cos(x))]$
che non mi pare qualcosa di abiltuale nella scuola secondaria.
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Mi domando perché nessuno ancora abbia postato il percosso da fare e l'espressione risolutiva.
Ciao ciao
@Erasmus_First:
fino a: "Non sono d'accorso" mi va bene: ognuno è libero di avere un'opinione personale, non necessariamente coincidente con quella di un altro. Altrimenti non sarebbe un'opinione.
Dal punto esclamativo (incluso) in poi sono disorientato. Forse viviamo in due universi paralleli.
Nel mio chi studia trigonometria, quando conosce il valore di una funzione goniometrica elementare, per trovare l'angolo usa la funzione inversa. Nel tuo non può che chiederlo all'insegnante; probabilmente il medesimo ha provveduto a sequestrare anche gli opportuni tasti delle calcolatrici.
Quanto al problema: non ho alcun desiderio di risolverlo. Non credo che apprenderei alcunché di interessante e non mi piace sentirmi vincolato a procedere come vuoi tu, con il timore di subire un processo per eresia.
Con un minimo d'impegno potresti trovare da solo la risposta alla domanda finale.
Ciao
fino a: "Non sono d'accorso" mi va bene: ognuno è libero di avere un'opinione personale, non necessariamente coincidente con quella di un altro. Altrimenti non sarebbe un'opinione.
Dal punto esclamativo (incluso) in poi sono disorientato. Forse viviamo in due universi paralleli.
Nel mio chi studia trigonometria, quando conosce il valore di una funzione goniometrica elementare, per trovare l'angolo usa la funzione inversa. Nel tuo non può che chiederlo all'insegnante; probabilmente il medesimo ha provveduto a sequestrare anche gli opportuni tasti delle calcolatrici.
Quanto al problema: non ho alcun desiderio di risolverlo. Non credo che apprenderei alcunché di interessante e non mi piace sentirmi vincolato a procedere come vuoi tu, con il timore di subire un processo per eresia.
Con un minimo d'impegno potresti trovare da solo la risposta alla domanda finale.
Ciao
"orsoulx":Probabilmente non mi so spiegare bene.
[...]chi studia trigonometria, quando conosce il valore di una funzione goniometrica elementare, per trovare l'angolo usa la funzione inversa.[...]
Un conto è trovare l'angolo una volta che si ha il valore della funzione trigonometrica (valore espresso da un numero o da una espressione numerica). E in questo senso hai ragione.
[Se si tratta di un "valore notevole" della funzione trigonometrica ... il ragazzino diligente sa già a memoria a quali angoli corrisponde. Se no usa la calcolatrice (e ai miei tempi avrebbe dovuto usare le "tavole dei logaritmi" ... cartacee].
Un altro è affermare che nelle scuole secondarie si studiano le funzioni inverse arcoseno e arcocoseno.
Tornando alla tua interpretazione ... anche un bambino delle medie, sapendo che 2^6 fa 64, sa rispondere alla domanda:
«A quale esponente bisogna elevare 2 per ottenere 64?»
Ma questo non vuol dire che alle medie si studia la funzione "logaritmo in base 2 di x" (magari come inversa della funzione esponenziale x = 2^y), [cioè passando da particolari precisi valori numerici al concetto di "variabile"].
Detto in altro modo (e con un esempio diverso): un conto è sapere che la divisone è l'operazione inversa del prodotto, un altro è aver studiato la funzione y = K/x.
Comunque: non conosco la situazione attuale della "scuola secondaria".
Ma ho ancora un sacco di testi offerti in omaggio dai rappresentanti delle case editrici dei manuali di matematica dei miei tempi. Nella maggioranza di questi non c'è nemmeno l'equazione polare dell'ellisse (con il polo in un fuoco).
In TUTTI ... nessun cenno esplicito alle funzioni arcoseno, arcocoseno e arcotangente.
Giusto garantire la libertà di diverse opinioni.
Meno giusto prendere per i fondelli chi è di opinione diversa dalla propria (magari prima ancora di aver capito in cosa consiste la diversità).
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@orsolux Magari se formalizzi il tuo primo indizio...
"j18eos":
@orsolux Magari se formalizzi il tuo primo indizio...
I passaggi logici (il resto si riduce a calcoli da noioso esercizio scolastico nel quarto anno LS) può consistere nel determinare in funzione di a, b e dell'angolo dato:
le coordinate ortogonali di P;
l'area del triangolo FCP;
l'equazione di una delle infinite trasformazioni possibili che portano l'ellisse in una circonferenza;
i 'nuovi' angolo e raggio del settore circolare;
l'area del settore circolare;
la corrispondente area prima della trasformazione;
la somma di questa con quella del triangolo precedente.
Ciao
"j18eos":Qui ... è formalizzato tutto!
@orsolux Magari se formalizzi il tuo primo indizio...
=>
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Cercando l'area del settore ellittico centrale (che si trasforma in settore circolare comprimendo l'ellisse nella direzione del diametro maggiore 2a nel rapporto b/a o dilatandola nella direzione del diametro minore 2b nel rapporto a/b) si incontra la funzione
$ε(φ) = arccos[(cos(φ) – e)/(1 – e·cos(φ))]$ (*)
dove φ è l'anomalia del punto P variabile sull'ellisse (punto che assieme al vertice V di origine delle anomalie e al fuoco F distante c + a da V delimita il settore polare di ellisse), ε è l'angolo trasformato (nella riduzione dell'ellisse a cerchio) dell'angolo al centro (di vertice C) PCV ed e è l'eccentricità c/a dell'ellisse.
Questa funzione ... io la considero molto interessante per due motivi.
Il primo è che se si sostituisce uno dei due angoli con il suo supplementare [il che equivale a sostituire nella (*) cos(φ) con il suo opposto] si ottiene una funzione "involutoria", coincidente cioè con la sua inversa.
$cos(π – ε) = [cos(φ) – e]/[1 – e·cos(φ)] ⇔ cos(π – φ) = [cos(ε) – e]/[1 – e·cos(ε)]$.
Il secondo ... perché mi dà una informazione didatticamente importante!
Mi spiego
Immaginiamo ora, contrariamente a quanto richiesto dal quiz, di trovare l'area A(φ) di quel settore ellittico per integrazione.
Il differenziale dA(φ) è (1/2){[r(φ)]^2}dφ, dove r(φ) è il raggio FP (con F un fuoco e P punto variabile sull'ellisse).
Beh: per trovare una primitiva di [r(φ)]^2 è utilissima (o forse addirittura indispensabile) la sostituzione di variabile (di integrazione) del tipo (*):
$ε(φ) = arccos[(cos(φ) – e)/(1 – e·cos(φ))]$
Ma se uno non l'ha già incontrata probabilmente non gli viene in mente.
Insomma: proprio il fare l'integrale di
$1/[1 – e· cos(x)]^2$
come differenza tra i valori assunti da una primitiva negli estremi di integrazione [che nel nostro caso sono 0 e φ] viene più facilmente affrontando geometricamente il problema dell'area del settore ellittico che lavorando in astratto in algebra pura.
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$ε(φ) = arccos[(cos(φ) – e)/(1 – e·cos(φ))]$ (*)
dove φ è l'anomalia del punto P variabile sull'ellisse (punto che assieme al vertice V di origine delle anomalie e al fuoco F distante c + a da V delimita il settore polare di ellisse), ε è l'angolo trasformato (nella riduzione dell'ellisse a cerchio) dell'angolo al centro (di vertice C) PCV ed e è l'eccentricità c/a dell'ellisse.
Questa funzione ... io la considero molto interessante per due motivi.
Il primo è che se si sostituisce uno dei due angoli con il suo supplementare [il che equivale a sostituire nella (*) cos(φ) con il suo opposto] si ottiene una funzione "involutoria", coincidente cioè con la sua inversa.
$cos(π – ε) = [cos(φ) – e]/[1 – e·cos(φ)] ⇔ cos(π – φ) = [cos(ε) – e]/[1 – e·cos(ε)]$.
Il secondo ... perché mi dà una informazione didatticamente importante!
Mi spiego
Immaginiamo ora, contrariamente a quanto richiesto dal quiz, di trovare l'area A(φ) di quel settore ellittico per integrazione.
Il differenziale dA(φ) è (1/2){[r(φ)]^2}dφ, dove r(φ) è il raggio FP (con F un fuoco e P punto variabile sull'ellisse).
Beh: per trovare una primitiva di [r(φ)]^2 è utilissima (o forse addirittura indispensabile) la sostituzione di variabile (di integrazione) del tipo (*):
$ε(φ) = arccos[(cos(φ) – e)/(1 – e·cos(φ))]$
Ma se uno non l'ha già incontrata probabilmente non gli viene in mente.
Insomma: proprio il fare l'integrale di
$1/[1 – e· cos(x)]^2$
come differenza tra i valori assunti da una primitiva negli estremi di integrazione [che nel nostro caso sono 0 e φ] viene più facilmente affrontando geometricamente il problema dell'area del settore ellittico che lavorando in astratto in algebra pura.
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[ot]@Erasmus: non so a quale tipologia di scuola secondaria tu faccia riferimento, di fatto da più di vent'anni nel liceo scientifico le funzioni inverse delle circolari fanno regolarmente parte del programma dell'anno di quarta.[/ot]
[ot]Sono pienamente d'accordo con Pallit ; quanto poi le funzioni trigonometriche inverse siano veramente comprese, su questo non metterei la mano sul fuoco...[/ot]
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