Approssimare modulo

[lucafuria]

$ (x+y)*||x+y|| $Supponendo di avere qualcosa con questa forma: $ (x+y)*||x+y|| $ , esiste qualche modo per approssimare il modulo in modo da avere una funzione polinomiale?

[dissonance]

Si, puoi scrivere il modulo come somma di una serie di funzioni che converge uniformemente, si usa in una classica dimostrazione del teorema di Stone-Weierstrass. In pratica si usa il teorema del binomio, con il trucco seguente:
\[
\lvert u\rvert = (1+u^2-1)^{1/2}=(1+v)^{1/2}, \]
dove abbiamo posto \(v=u^2-1\), e quindi
\[
\lvert u \rvert = \sum_{n=0}^\infty \binom{1/2}{n} (u^2-1)^n.\]
Questa serie converge uniformemente per \(u\in [-\sqrt 2 , \sqrt 2]\), ed è credo l'unica applicazione che io abbia mai visto del criterio di Raabe.

[dissonance]

Ecco dove ho imparato questa roba del criterio di Raabe:

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 36&t=70739

Rigel lo ha tirato fuori dal cilindro parecchi anni fa lasciandomi a bocca aperta

[lucafuria]

Intanto la ringrazio per la risposta, purtroppo l'ipotesi che $u∈[−√2,√2]$ è troppo restringente, in più l'argomento del modulo nel mio caso è un numero complesso