Apollonio
Gentili amici, mi sono iscritto al forum per sottoporvi un dubbio che mi assilla da tempo e concerne le coniche (da Apollonio a Wikipedia).
Se non erro, si va ripetendo che un piano che intersechi un cono circolare (escludendo il caso degenere dell'intersezione con il vertice) origina, nei punti intersezione, un cerchio, un'ellisse, una parabola o un'iperbole.
Viceversa solo in casi particolari vengono generate alcune di tali curve; cerchio e parabola sono correttamente individuati, ma l'iperbole è generata solo da un piano parallelo alla generatrice, e l'ellisse può essere generata solo dall'intersezione con un cono "degenere", cioè un cilindro. Le dimostrazioni sono piuttosto elementari: sia nel caso dell'iperbole che dell'ellisse esiste una sola simmetria. In particolare nel caso dell'ellisse è facile notare come le figure generate siano asimmetriche (non uguali e neppure simili) rispetto all' "asse minore".
Il mio quesito è quindi questo: come mai, a distanza addirittura di milleni, si vanno ancora insegnando concetti geometrici evidentemente errati?
Vi ringrazio per l'attenzione
Claudio
Se non erro, si va ripetendo che un piano che intersechi un cono circolare (escludendo il caso degenere dell'intersezione con il vertice) origina, nei punti intersezione, un cerchio, un'ellisse, una parabola o un'iperbole.
Viceversa solo in casi particolari vengono generate alcune di tali curve; cerchio e parabola sono correttamente individuati, ma l'iperbole è generata solo da un piano parallelo alla generatrice, e l'ellisse può essere generata solo dall'intersezione con un cono "degenere", cioè un cilindro. Le dimostrazioni sono piuttosto elementari: sia nel caso dell'iperbole che dell'ellisse esiste una sola simmetria. In particolare nel caso dell'ellisse è facile notare come le figure generate siano asimmetriche (non uguali e neppure simili) rispetto all' "asse minore".
Il mio quesito è quindi questo: come mai, a distanza addirittura di milleni, si vanno ancora insegnando concetti geometrici evidentemente errati?
Vi ringrazio per l'attenzione
Claudio
Risposte
Sinceramente non capisco il punto.
Sostieni che le figure ottenute secando il classico doppio cono con piani non siano le coniche?
Facci vedere due conti e ne parliamo.
Sostieni che le figure ottenute secando il classico doppio cono con piani non siano le coniche?
Facci vedere due conti e ne parliamo.
Non sostengo che non siano coniche, nel senso che non siano rappresentabili dall'equazione generica
Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0
Sostengo solo che, ad esempio, la "ellisse" derivante dall’intersezione non è rappresentata nè rappresentabile dall'equazione
(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1 .
Forse la dimostrazione più semplice passa dall'osservazione che il raggio di curvatura di tale "ellisse" è diverso ai due estremi dell'asse maggiore.
Per quanto riguarda l'iperbole, mi pare immediato osservare che i due rami non sono simmetrici, come richiesto dall'equazione
(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1
Grazie per il commento.
Claudio
Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0
Sostengo solo che, ad esempio, la "ellisse" derivante dall’intersezione non è rappresentata nè rappresentabile dall'equazione
(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1 .
Forse la dimostrazione più semplice passa dall'osservazione che il raggio di curvatura di tale "ellisse" è diverso ai due estremi dell'asse maggiore.
Per quanto riguarda l'iperbole, mi pare immediato osservare che i due rami non sono simmetrici, come richiesto dall'equazione
(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1
Grazie per il commento.
Claudio
Ah, vabbé... Grazie al cavolo.
Le equazioni canoniche che citi valgono solo se ti fissi il riferimento in maniera opportuna.
Però che quella roba lì sia una ellisse/parabola/iperbole si dimostra con tecniche di Geometria, come già sapeva Apollonio.* In altre parole, l'essere iperbole/ellisse/parabola non dipende dal soddisfare o meno un'equazione algebrica, ma dal verificare alcune precise proprietà geometriche.
Per ritrovare le equazioni canoniche, uno deve fissarsi un riferimento opportuno nel piano secante il cono e ciò si fa usando le proprietà geometriche delle varie sezioni.
__________
* Ad esempio, si dimostra che se sezioni il doppio cono con un piano parallelo all'altezza ottieni una curva che soddisfa la seguente proprietà: sul piano secante esistono due punti tali che la differenza delle distanze del generico punto della curva da ognuno di tali punti è costante... E, per definizione, una curva del genere si chiama iperbole.
Le equazioni canoniche che citi valgono solo se ti fissi il riferimento in maniera opportuna.
Però che quella roba lì sia una ellisse/parabola/iperbole si dimostra con tecniche di Geometria, come già sapeva Apollonio.* In altre parole, l'essere iperbole/ellisse/parabola non dipende dal soddisfare o meno un'equazione algebrica, ma dal verificare alcune precise proprietà geometriche.
Per ritrovare le equazioni canoniche, uno deve fissarsi un riferimento opportuno nel piano secante il cono e ciò si fa usando le proprietà geometriche delle varie sezioni.
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* Ad esempio, si dimostra che se sezioni il doppio cono con un piano parallelo all'altezza ottieni una curva che soddisfa la seguente proprietà: sul piano secante esistono due punti tali che la differenza delle distanze del generico punto della curva da ognuno di tali punti è costante... E, per definizione, una curva del genere si chiama iperbole.
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