Anelli primitivi

[maurer]

In tutto il seguito [tex](R,+,\cdot)[/tex] denoterà un anello unitario (non necessariamente commutativo, però). [tex]M[/tex] denoterà invece un [tex]R[/tex]-modulo sinistro.

Definizione 0. Sia [tex]M[/tex] un [tex]R[/tex]-modulo sinistro. Diciamo che [tex]M[/tex] è semplice se non ammette sottomoduli propri.

Definizione 1. Sia [tex]M[/tex] un [tex]R[/tex]-modulo sinistro. Diciamo annullatore di [tex]M[/tex] l'insieme [tex]\text{Ann}(M) = \{a \in R \mid a m = 0_M \: \forall m \in M\}[/tex].

Proposizione 1. [tex]\text{Ann}(M)[/tex] è un ideale sinistro di [tex]M[/tex].

Dimostrazione. Esercizio!

Definizione 2. Diciamo che [tex]M[/tex] è un [tex]R[/tex]-modulo fedele se [tex]\text{Ann}(M) = \mathbf 0[/tex] (l'ideale nullo).

Definizione 3. Sia [tex]M[/tex] un [tex]R[/tex]-modulo sinistro. Sia [tex]N_1 \subset N_2 \ldots \subset N_k[/tex] una catena di suoi sottomoduli con tutte le inclusioni strette. Diciamo che la catena ha lunghezza [tex]n[/tex].
Diciamo lunghezza di [tex]M[/tex] il massimo delle lunghezze delle catene di suoi sottomoduli. Se tale massimo non esiste, diciamo che [tex]M[/tex] ha lunghezza infinita.

Definizione 4. Diciamo che [tex]R[/tex] è primo se per ogni [tex]a,b \in R[/tex] tali che [tex]arb = 0[/tex] per ogni [tex]r \in R[/tex] segue [tex]a = 0[/tex] oppure [tex]b = 0[/tex].

Proposizione. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1. [tex]R[/tex] è primo;
2. il monoide degli ideali sinistri di [tex]R[/tex] è privo di divisori dello zero.
[/list:u:3cvrpnbo]
Dimostrazione. Esercizio!

Infine, l'ultima definizione:

Definizione 5. Diciamo che [tex]R[/tex] è primitivo a sinistra se ammette un [tex]R[/tex]-modulo sinistro fedele e semplice.

Eccoci pronti:

Prove it! Se [tex]R[/tex] è un anello primo ed ammette un [tex]R[/tex]-modulo sinistro fedele e di lunghezza finita, allora è primitivo.

Enjoy!

[Leonardo891]

Ci provo.

Sia \(R\) un anello primo che ammette un [tex]R[/tex]-modulo sinistro, \(M\), fedele e di lunghezza finita.
Sia \( 0 \subsetneqq N_1 \subsetneqq N_2 \subsetneqq \dots \subsetneqq N_k \subsetneqq M \) una delle catene di \(M\) di lunghezza massima.
E' evidente che \( N_k \) è massimale altrimenti la precedente catena non sarebbe stata una di quelle di lunghezza massima.
Pongo \[ M ' : = \frac{M}{N_k} \]
\(M' \) è un \( R \) - modulo sinistro e, per il teorema di corrispondenza degli ideali (spero che valga anche negli anelli non commutativi) è semplice.
Resta da dimostrare che \(M' \) è fedele, cioè che \( Ann M' = ( 0 ) \).
Si ha \( Ann M' = \{ a \in R | \forall \bar{m} \in M', a \bar{m} = \bar{0} \} = \{ a \in R | \forall m \in M, a m \in N_k \} \).
Suppongo, per assurdo, che \( Ann M' \neq ( 0 ) \) quindi che esista \( a \in R \backslash \{0\} | \forall m \in M, a m = \delta_m \in N_k \).
Posso quindi definire \( f: M \to N_k \) così: \( m \to \delta_m = a m \).
Poiché la cardinalità del codominio di \(f\) è strettamente minore di quella del dominio (il codominio è un sottomodulo proprio del dominio) allora \(f\) non può essere iniettiva, quindi \( \exists m_1, m_2 \in M \), \(m_1 \neq m_2\), tali che \(a m_1 = a m_2 \) quindi \( a (m_1 - m_2) = 0 \) il che è assurdo perché \( Ann M = (0) \).
Quindi \( R \) è primitivo.

La cosa strana, però, è che non ho usato la primalità dell'anello \(R\).

[maurer]

"Leonardo89":La cosa strana, però, è che non ho usato la primalità dell'anello \(R\).

"Leonardo89": quindi \( a (m_1 - m_2) = 0 \) il che è assurdo perché \( Ann M = (0) \).

In effetti, questo non è un assurdo. Infatti [tex]\text{Ann}(M) = (0)[/tex] significa solo che se [tex]a \in A[/tex] è tale che [tex]a m = 0[/tex] per ogni [tex]m \in M[/tex] allora [tex]a = 0[/tex]. Per farti un esempio, considera [tex]\varphi : \mathbb Z / 2 \mathbb Z \to \mathbb Z / 4 \mathbb Z[/tex] definita da [tex]\varphi([1]_2) = [2]_4[/tex]. Questo morfismo di anelli rende [tex]\mathbb Z / 4 \mathbb Z[/tex] uno [tex]\mathbb Z / 2 \mathbb Z[/tex]-modulo. Ora in questo contesto [tex]\text{Ann}(\mathbb Z / 4 \mathbb Z) = (0)[/tex] perché ad esempio [tex][1]_2 \cdot [1]_4 = \varphi([1]_2])[1]_4 = [2]_4 \ne 0[/tex]. Ciononostante, si ha anche che [tex][1]_2 \cdot [2]_4 = [2]_4 [2]_4 = [0]_4[/tex]!

[Leonardo891]

Ci riprovo, chissà se maurer è ancora in ascolto.

Proposizione
Se $R$ è un anello primo ed ammette un $R$-modulo sinistro fedele e di lunghezza finita, allora è primitivo.

Dimostrazione
Sia [tex]{_R M}[/tex] un modulo sinistro fedele e di lunghezza finita $n \ge 1$.
Se $n=1$ la tesi è ovvia.
Si procederà per induzione: sia [tex]{_R M}[/tex] un modulo sinistro fedele e di lunghezza finita $n+1 \ge 2$.
Sia
\[ 0 \lneqq N_1 \lneqq \dots
\lneqq N_n \lneqq N_{n+1} = M
\]
una catena di lunghezza massima di $M$.
Se [tex]{_R N_n}[/tex] è fedele allora esiste un $R$-modulo sinistro $T$ fedele e semplice per l'ipotesi induttiva.
Altrimenti, esiste [tex]0 \neq a \in R[/tex] tale che $a N_n=0$ ma, allora, $(RaR)N_n=0$.
Se [tex]{_R \left(M/N_n \right)}[/tex] è fedele si ha la tesi in quanto è anche semplice.
Altrimenti, esiste [tex]0 \neq b \in R[/tex] tale che [tex]b { \left(M/N_n \right)}=0[/tex] ma, allora, [tex](RbR){ \left(M/N_n \right)}=0[/tex] quindi $(RbR)M \le N_n$.
Di conseguenza
\[ (RaR)(RbR) M \le (RaR) N_n=0
\]
quindi $(RaR)(RbR)=0$ per la fedeltà di $M$.
Ciò, però, è assurdo perché $R$ è primo (lemma di sopra). $\square$