[Analisi complessa] Numero di zeri

[dan952]

Sia $f: CC \mapsto CC$ una funzione olomorfa e sia $C_R={z \in CC| |z|=R}$, dimostrare che
$$\frac{1}{2 \pi i}\int_{C_R} \frac{f'}{f}(z)dz$$
è il numero di zeri (contati con la loro molteplicità) di $f$ interni a $C_R$.

[Vincent46]

Ipotizzo che $f$ non abbia zeri su $C_R$.

È noto che gli zeri di una funzione analitica sono tutti isolati. Perciò, in ogni compatto essi devono essere in numero finito. Altrimenti, sarebbe possibile estrarre una sottosuccessione convergente dall'insieme degli zeri. Quindi $f$ ha un numero finito di zeri interni a $C_R$.

Siano dunque $z_1, ... , z_n$ gli zeri di $f$ interni a $C_R$. Consideriamo la funzione $F(z)=\frac{f'(z)}{f(z)}$, definita ovunque eccetto che sugli $z_k$, $k=1,...,n$.
Fissiamo $k \in \{1, .., n\}$.Poiché $f$ è olomorfa su $C_R$, in un intorno di $z_k$ essa si può scrivere come

$$f(z)=(z-z_k)^hg(z) \, ,$$
con $g(z)$ olomorfa nel suddetto intorno. Allora
$$f'(z)=(z-z_k)^{h-1}(hg(z)+(z-z_k)g'(z))\,.$$
Dunque è facile accorgersi che ogni $z_k$ è polo di ordine $1$ per $F$; d'altronde, $F$ ovviamente non possiede altri poli. Per il teorema dei residui,

$$\frac{1}{2 \pi i} \int_{C_R}F(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} Res(F, z_k)\, ,$$
dove $Res(F, z_k)$ indica il residuo di $F$ in $z_k$. Resta da dimostrare che esso è proprio uguale all'ordine di $z_k$ come zero di $f$.

D'altronde
$$ Res(F, z_k) = \lim_{z->zk}(z-z_k)\frac{f'(z)}{f(z)}=h\,,$$
che è l'ordine di $z_k$ come zero di $f$, come si voleva.

[dan952]

Good, very good.