Analisi 4

[Principe2]

Sia $f$ continua in $[0,1]$. Mostrare che esiste $\xi\in[0,1]$ tale che

$\int_0^1f(x)x^2dx=f(\xi)/3$

[fields1]

Sia $m$ il massimo della funzione $f$ in $[0,1]$ e $\mu$ il minimo della funzione $f$ in $[0,1]$ e


Allora

$\mu/3=int_0^1\mux^2dx<=int_0^1 f(x)x^2dx<=int_0^1mx^2dx=m/3$.

Sicche', $int_0^1 f(x)x^2dx=k/3$ per qualche $\mu<=k<=\m$. Per il teorema dei valori intermedi, $f(\xi)=k$, per qualche $\xi\in[0,1]$.


Edit: qualche passaggio di troppo

[Marco512]

Secondo me basta che verifichi la relazione per una qualsiasi funzione continua tra zero e uno. Prendiamo ad esempio $f(x)=x^3$. Risulta $ \xi =1$. Non è una dimostrazione ma una semplice verifica

[Principe2]

carino Fields!! io l'avevo fatto con Stone-Weierstrass, mostrando la tesi per i polinomi... però la tua è decisamente più veloce ed elegante

[alvinlee881]

"Marco512":Secondo me basta che verifichi la relazione per una qualsiasi funzione continua tra zero e uno. Prendiamo ad esempio $f(x)=x^3$. Risulta $ \xi =1$. Non è una dimostrazione ma una semplice verifica

E a che serve, scusa?