[Ammissione Sissa '05] Analisi 1

[Steven11]

Un semplice quesito di sei anni fa per l'ammissione.
Praticamente il punto a) è banale, il b) semplice e il c) anche alla luce del suggerimento che il testo stesso decide di dare.

Problema

Sia [tex]$f : (0, \infty) \to \mathbb{R}$[/tex] funzione di classe [tex]$C^1$[/tex] per cu vale, in ogni punto del dominio, [tex]$f'(x)<\frac{f(x)}{x}$[/tex]

Prova quindi che

a) La funzione [tex]$x \to \frac{f(x)}{x}$[/tex] è decrescente

b)Vale [tex]$ f'(y) < \frac{f(x)}{x}$[/tex] per [tex]$x,y \in (0,\infty)$[/tex] [tex]$ x\leq y$[/tex]

c) [tex]$f(x+y) \leq f(x) + f(y) \quad \forall x,y \in (0,\infty)$[/tex]

Il suggerimento che il testo dà per c) è

Stimare [tex]$\int_{y}^{x+y} f'(t)dt$[/tex] con [tex]$x\leq y$[/tex] e usando i p.ti precedenti.

[j18eos]

Inizio dal punto a!

Sia [tex]$g:x\in(0;+\infty)\to\frac{f(x)}{x}\in\mathbb{R}$[/tex], è [tex]$\frac{d}{dx}g(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}=\frac{x\big[f'(x)-\frac{f(x)}{x}\big]}{x^2}=\frac{\big[f'(x)-\frac{f(x)}{x}\big]}{x}<0$[/tex] da cui l'asserto.

Per il punto b!

Essendo dal punto a [tex]$\forall x\leq y\in(0;+\infty),\,\frac{f(x)}{x}=g(x)\geq g(y)=\frac{f(y)}{y}>f'(y)$[/tex] da cui l'asserto!

Per il punto c... è arrivata mia mamma e se non l'aiuto a cucinare saranno dolori. A dopo!

[Gi81]

Proposta per il punto c:

Sia $M=s u p_(t in [y,x+y]) f'(t)$
Poichè $f'$ è continua per ipotesi, $EE xi in [y,x+y]$ tale che $f'(xi)=M$
Notiamo che $xi>=y>=x=>$ Il punto b) ci garantisce che $f'(xi)< f(x)/x$

$f(x+y)-f(y)=int_(y)^(x+y) f'(t)dt<=int_(y)^(x+y) f'(xi)dt=f'(xi)*(x+y-y)=f'(xi)*x
Cioè $f(x+y)

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[j18eos]

Esatto!
Un commento per dispiegare il ragionamento che vi è dietro, almeno a questo punto.

Dato l'indizio ed il dover dimostrare una diseguaglianza è naturale voler maggiorare il dato integrale col massimo dell'integrando.

Perché non provi a dimostrare diversamente gli altri punti?

[Gi81]

Un'idea su una dimostrazione alternativa del punto a) ce l'ho, ma mi manca qualcosa.
Nel frattempo volevo chiederti io una delucidazione.
Quando hai dimostrato il punto a) hai scritto che

Sia [tex]$g:x\in(0;+\infty)\to\frac{f(x)}{x}\in(0;+\infty)$[/tex]

Non ho capito perchè il codominio è [tex](0,+\infty)[/tex]

[j18eos]

Errore di battitura, ricordavo che tale era anche il codominio di [tex]$f$[/tex]!

[Gi81]

Peccato. Se $f: (0,+oo)->(0,+oo)$

L'ipotesi $f'(x)<(f(x))/x$ è equivalente a $(f'(x))/f(x)<1/x$
Tesi: $AA 0f(b)/b$
Dim:
$AA x in (0,+oo)$ vale $(f'(x))/f(x)<1/x$
Integrando tra $a$ e $b$ si ha $[log(f(x))]_a^b<[log(x)]_a^b> log(f(b)/f(a)) f(b)/f(a)f(b)/b

Ma se $f: (0,+oo)->RR$, non mi viene in mente nient'altro se non la dimostrazione proposta da te

Cita

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[robbstark1]

Dimostrazione alternativa per il punto C:

Pongo senza ledere la generalità $x>=y$. Suppongo per assurdo che la tesi sia falsa:
$f(x+y)-f(x) > f(y)$
$(f(x+y)-f(x))/y > (f(y))/y$
Valgono le ipotesi del teorema di Lagrange, per cui:
$EEc,y<=x (f(y))/y$
Ciò va in contrasto col punto 2. Quindi la tesi era vera.