Ammissione Sant'Anna
La cifra [tex]2^{29}[/tex] contiene tutti i numeri ad eccezione di uno, quale?
Nb: Non bisogna fare alcun calcolo.
Nb: Non bisogna fare alcun calcolo.
Risposte
E' $2^{29}$? Comunque il testo corretto dovrebbe essere: il numero $2^{29}$ contiene tutte le cifre eccetto una.
Si, contiene tutte le cifre eccetto una. Scusate se non era chiaro il testo
A me viene da pensare che sia lo 0 che manca... ma non ho praticamente ragionato, è solo a pelle. Mi sono chiesto se una cifra "qualunque" potrebbe mancare, e ho pensato che per provare che ne manca una qualunque diversa da 0 bisognerebbe usare qualche argomento di divisibilità, e mi sembra invece difficile usare tali argomenti visto che il numero è molto grande e tante cifre si ripeteranno.. per cui ho dedotto che lo 0 potrebbe essere il candidato.
Anch'io a pelle e direi [tex]$0$[/tex] ma non ho le prove. 
C'è una precisazione da fare. Il testo sottintende che il numero [tex]2^{29}[/tex] consiste di esattamente nove cifre e che sono tutte distinte? Se questo non va dimostrato il quesito diventa del tutto accessibile! In caso contrario, non saprei come fare senza conti.
"Slashino":
Si, contiene tutte le cifre eccetto una. Scusate se non era chiaro il testo
Vuoi dire che le cifre sono 9 e sono tutte differenti?
O che le cifre possono ripetersi e quindi non sappiamo che $2^29$ ha $9$ cifre?
se sappiamo che sono 9 cifre si vede a occhio che 4 delle cifre sono: $0$ $3$ $6$ e $9$
Sì, non è difficile mostrare che $2^{29}$ ha 9 cifre; inoltre deve contenere 0,3,6,9 per motivi di divisibilità, l'ultima cifra è 2 mentre la prima è 5. Ma le altre?
"Luca.Lussardi":Credo che il testo vada interpretato così: "sapendo che compaiono tutte le cifre tranne una trovare quella che non compare".
Ma le altre?
Ho provato con mathematica , si martino è come dici te,Il numero contiene tutte le cifre eccetto.....
perchè 5 la prima e 2 l'ultima ..
Mi viene solo da osservare che le radici numeriche delle potenze del 2 sono una successione 2 4 8 7 5 1 con questo dato si può calcolare la cifra mancante.
Dato che la 29 esima potenza mi deve dare come radice numerica 5 si può calcolare quale cifra manca controllando le radici numeriche possibili di 9 cifre differenti.
Ma siccome la premessa è di non fare alcun calcolo .....
Mi viene solo da osservare che le radici numeriche delle potenze del 2 sono una successione 2 4 8 7 5 1 con questo dato si può calcolare la cifra mancante.
Dato che la 29 esima potenza mi deve dare come radice numerica 5 si può calcolare quale cifra manca controllando le radici numeriche possibili di 9 cifre differenti.
Ma siccome la premessa è di non fare alcun calcolo .....
"Martino":
C'è una precisazione da fare. Il testo sottintende che il numero [tex]2^{29}[/tex] consiste di esattamente nove cifre e che sono tutte distinte?
Non penso sottintenda che sono esattamente nove cifre (anche se poi è così), ma da come è scritto sottintende che una sola cifra non è presente e chiede di trovarla.
Non è comunque difficile dimostrare che il numero dato ha esattamente 9 cifre.
Per quanto riguarda il "non fare un calcolo" io credo che questo voglia solo dire che non è consentito calcolare esplicitamente il numero $2^{29}$
Per quanto riguarda il "non fare un calcolo" io credo che questo voglia solo dire che non è consentito calcolare esplicitamente il numero $2^{29}$
La radice numerica di $2^29$ è 5
le somme possibili di 9 cifre differenti sono 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
calcolando le rispettive radice numeriche ho la soluzione.
Sicuramente e bruttina come soluzione e sicuramente c'è di meglio
le somme possibili di 9 cifre differenti sono 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
calcolando le rispettive radice numeriche ho la soluzione.
Sicuramente e bruttina come soluzione e sicuramente c'è di meglio
il punto è che il testo è molto molto ambiguo: io direi che potrebbe essere interpretato così:
Dire quali cifre (una o più) non compaiono nel numero [tex]2^{29}[/tex].
prima stimiamo quanto cifre ha: [tex]2^{29}=2^{10} \cdot 2^{10} \cdot 2^9=1024 \cdot 1024 \cdot 512 \approx 5 \cdot 10^8[/tex]
quindi ha nove cifre.
perciò in effetti ne manca una o più.
ora proviamo a fare [tex]2^{29} \bmod{9}[/tex] fa [tex]5[/tex] per il teorema di Fermat. quindi le cifre che mancano devono sommare a [tex]4[/tex]
se per qualche motivo scopro che ne manca una sola ovviamente so che manca il 4.
ma altrimenti ( e sinceramente non so come si potrebbe affermarlo con sicurezza) non è detto che in [tex]2^{29}[/tex] compaiano 9 cifre distinte.
Dire quali cifre (una o più) non compaiono nel numero [tex]2^{29}[/tex].
prima stimiamo quanto cifre ha: [tex]2^{29}=2^{10} \cdot 2^{10} \cdot 2^9=1024 \cdot 1024 \cdot 512 \approx 5 \cdot 10^8[/tex]
quindi ha nove cifre.
perciò in effetti ne manca una o più.
ora proviamo a fare [tex]2^{29} \bmod{9}[/tex] fa [tex]5[/tex] per il teorema di Fermat. quindi le cifre che mancano devono sommare a [tex]4[/tex]
se per qualche motivo scopro che ne manca una sola ovviamente so che manca il 4.
ma altrimenti ( e sinceramente non so come si potrebbe affermarlo con sicurezza) non è detto che in [tex]2^{29}[/tex] compaiano 9 cifre distinte.
Ma per radice numerica intendete questo argomento!
EDIT: Scusatemi per la III persona di prima.
Avevo scritto "intende".
EDIT: Scusatemi per la III persona di prima.
Avevo scritto "intende".
si
Il fatto che mancasse una sola cifra era stato chiarito.
Dopo la dimostrazione che $2^29$ è formato da $9$ cifre, non c'è da chiedersi se ci sono ripetizioni di cifre.
Devo solo capire quale combinazione di 9 cifre distinte, tra le 10 disponibili, mi da un numero la cui radice numerica è 5.
Le somme possibili di 9 cifre distinte vanno da 36 a 45 e solo 41 mi da 4+1 =5.
41 è la somma di nove cifre escluso il 4.
Il 4 è la cifra mancante.
Ma mi sembrava che questo si capisse dalla spiegazione precedente anche se era incompleta nei calcoli.
Dopo la dimostrazione che $2^29$ è formato da $9$ cifre, non c'è da chiedersi se ci sono ripetizioni di cifre.
Devo solo capire quale combinazione di 9 cifre distinte, tra le 10 disponibili, mi da un numero la cui radice numerica è 5.
Le somme possibili di 9 cifre distinte vanno da 36 a 45 e solo 41 mi da 4+1 =5.
41 è la somma di nove cifre escluso il 4.
Il 4 è la cifra mancante.
Ma mi sembrava che questo si capisse dalla spiegazione precedente anche se era incompleta nei calcoli.
La somma delle 10 cifre (0+1+...+8+9) = 45 quindi se ci fossero tutte le cifre il resto è 0. (mod 9)
Considerando che il resto è 5, ( e che ci manca una delle cifre), la cifra mancante è la 4.
Considerando che il resto è 5, ( e che ci manca una delle cifre), la cifra mancante è la 4.
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