[Algebra lineare] Raggio spettrale di un prodotto
Siano $n \ge 1$ un intero e $\rho(A)$ il raggio spettrale di $A$, per ogni $A \in \mathbb{C}^{n,n}$. Stabilire, allora, se è vero che, comunque scelti $\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in \mathbb{C}$ ed $A \in \mathbb{C}^{n,n}$, vale $\rho(A) \cdot \min_{1 \le i \le n} |\alpha_i|\le \rho(AB) \le \rho(A) \cdot \max_{1 \le i \le n} |\alpha_i|$, dove $B$ è la matrice diagonale $n \times n$ i cui elementi sono gli scalari $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$. Oppure esibire un esempio in senso contrario.
Risposte
per quanto riguarda $rho(AB)<=rho(A)*rho(B)$
sia $||-||$ una norma matriciale indotta
si ha che $rho(A)=Inf_(||-||)||A||$
abbiamo che $||AB||<=||A||*||B||$ passando all'inf si ottiene la tesi. l'altra disuguaglianza non saprei devo pensarci
(non so come si fa inf col codice
)
sia $||-||$ una norma matriciale indotta
si ha che $rho(A)=Inf_(||-||)||A||$
abbiamo che $||AB||<=||A||*||B||$ passando all'inf si ottiene la tesi. l'altra disuguaglianza non saprei devo pensarci
(non so come si fa inf col codice
)
"rubik":
per quanto riguarda $rho(AB)<=rho(A)*rho(B)$ sia $||-||$ una norma matriciale indotta
si ha che $rho(A)=Inf_(||-||)||A||$ abbiamo che $||AB||<=||A||*||B||$ passando all'inf si ottiene la tesi.
Falso. Se pure è vero che $\rho(AB) \le ||A|| \cdot ||B||$, per ogni norma matriciale indotta $||\cdot||: \mathbb{C}^{n,n} \to \mathbb{R}$, di certo non è sufficiente perché se ne possa dedurre la disuguaglianza di destra del problema. Che infatti $1 = \rho(AB) > \rho(A) \cdot \rho(B) = 0$, se $A = [(0, 1),(0, 0)]$ e $B = [(0,0),(1,0)]$.
mi sembrava filasse a quanto pare non filava affatto
il tuo controesempio non funziona (funziona in generale ma non nelle ipotesi del teorema) il problema parlava di B matrice diagonale. non vorrei aggiungere qualche stupidaggine ma una volta considerato che $rho(AB)<=||A||*||B||$ essendo la norma indotta e B diagonale $||B||=\max_i |a_i|$ (indipendentemente dalla norma). quindi si ottiene $rho(AB)<=||A||*\max_i |a_i|$ e passando all'inf sulla norma di A si potrebbe ( ) ottenere la tesi. che dici?
) ottenere la tesi. che dici?
Mi pare che rubik abbia ragione per la diseguaglianza di destra.
Per quella di sinistra si potrebbe ragionare così: se il minimo degli
$a_j$ è zero non c'è nulla da dimostrare, se non è zero si può
scrivere $A=(AB)B^-1$ e riapplicare la prima diseguaglianza.
Per quella di sinistra si potrebbe ragionare così: se il minimo degli
$a_j$ è zero non c'è nulla da dimostrare, se non è zero si può
scrivere $A=(AB)B^-1$ e riapplicare la prima diseguaglianza.
"rubik":
il tuo controesempio non funziona (funziona in generale ma non nelle ipotesi del teorema) il problema parlava di B matrice diagonale.
Il controesempio, infatti, era finalizzato a smentire le conclusioni del tuo primo intervento sul topic - che sembrano trascendere completamente, nei termini in cui sono presentate, dalle particolari ipotesi del problema circa la natura diagonale della matrice $B$. Detto questo ...
"rubik":
[...] una volta considerato che $rho(AB)<=||A||*||B||$ essendo la norma indotta e B diagonale $||B||=\max_i |a_i|$ (indipendentemente dalla norma). quindi si ottiene $rho(AB)<=||A||*\max_i |a_i|$ e passando all'inf sulla norma di A si potrebbe ottenere la tesi. che dici?
Potrei anche essere d'accordo, se soltanto mi volessi dimostrare quanto, viceversa, vai sostenendo senza darne prove. I.e., che $||B|| = \max_{1 \le i \le n} |a_i|$, quando $B \in \mathbb{C}^{n,n}$ è diagonale di elementi $a_1, a_2, \ldots, a_n \in \mathbb{C}$ e $\|\cdot\|: \mathbb{C}^{n,n} \to \mathbb{R}$ è una qualunque norma matriciale indotta.
Scusate se mi intrometto di nuovo.
In effetti l'affermazione sopra è meno evidente di quanto mi fosse sembrato di primo acchito ( se capisco bene con
"norma matriciale indotta" si intende il $||B||:=max{|| Bx||_X / ||x||_X: ||x||_X\ne 0}$, dove $||\cdot||_X$ è e una qualunque norma su $X=C^n$).
A parte il fatto che per dimostrare la proprietà sui raggi spettrali si potrebbe prendere come $||\cdot||_X$ la norma euclidea, in cui
(1) $||B||=max1≤i≤n|ai|$
è abbastanza evidente, rimane il fatto che (1) è vera comunque sia scelta $||\cdot||_X$. Immagino che questo sia ben noto - io per vederlo farei così:
(a) dato $x=(x_1,...,x_n)$ in $X$ e $a$ con $|a|\leq 1$ si ha $||(x_1,...,a x_i,...,x_n)||_X\leq||x||_X$, per la convessità della norma.
(b) di conseguenza, se $a_1,...,a_n$ hanno modulo minore o eguale a $1$, allora $||(a_1 x_1,...,a_n x_n)||_X\leq||x||_X$
(c) Siano $a_1,...,a_n$ qualunque e sia $B$ diagonale di elementi; poniamo $a:=max{|a_1|,...,|a_n|}$.
Allora $||Bx||_X=a||(a_1x_1/a,...,a_n x_n/a)||_X\leq a||x||_X$ e quindi $||B||\leq a$
(d) Preso come $x$ il versore $i$-esimo si ha $Bx=a_i x$ da cui segue subito l'eguaglianza.
||B||=max1≤i≤n|ai|, quando B∈ℂn,n è diagonale di elementi a1,a2,...,an∈ℂ e |⋅|:ℂn,n→ℝ è una qualunque norma matriciale indotta.
In effetti l'affermazione sopra è meno evidente di quanto mi fosse sembrato di primo acchito ( se capisco bene con
"norma matriciale indotta" si intende il $||B||:=max{|| Bx||_X / ||x||_X: ||x||_X\ne 0}$, dove $||\cdot||_X$ è e una qualunque norma su $X=C^n$).
A parte il fatto che per dimostrare la proprietà sui raggi spettrali si potrebbe prendere come $||\cdot||_X$ la norma euclidea, in cui
(1) $||B||=max1≤i≤n|ai|$
è abbastanza evidente, rimane il fatto che (1) è vera comunque sia scelta $||\cdot||_X$. Immagino che questo sia ben noto - io per vederlo farei così:
(a) dato $x=(x_1,...,x_n)$ in $X$ e $a$ con $|a|\leq 1$ si ha $||(x_1,...,a x_i,...,x_n)||_X\leq||x||_X$, per la convessità della norma.
(b) di conseguenza, se $a_1,...,a_n$ hanno modulo minore o eguale a $1$, allora $||(a_1 x_1,...,a_n x_n)||_X\leq||x||_X$
(c) Siano $a_1,...,a_n$ qualunque e sia $B$ diagonale di elementi; poniamo $a:=max{|a_1|,...,|a_n|}$.
Allora $||Bx||_X=a||(a_1x_1/a,...,a_n x_n/a)||_X\leq a||x||_X$ e quindi $||B||\leq a$
(d) Preso come $x$ il versore $i$-esimo si ha $Bx=a_i x$ da cui segue subito l'eguaglianza.
"ViciousGoblinEnters":
Scusate se mi intrometto di nuovo.
Nulla di cui debba scusarti, naturalmente, anzi mi fa contento che la questione abbia attratto il tuo interesse.
"ViciousGoblinEnters":
In effetti l'affermazione sopra è meno evidente di quanto mi fosse sembrato di primo acchito ( se capisco bene con
"norma matriciale indotta" si intende il $||B||:=max{|| Bx||_X / ||x||_X: ||x||_X\ne 0}$, dove $||\cdot||_X$ è e una qualunque norma su $X=C^n$).
L'interpretazione è quella giusta, sì.
"ViciousGoblinEnters":
A parte il fatto che per dimostrare la proprietà sui raggi spettrali si potrebbe prendere come $||\cdot||_X$ la norma euclidea, in cui
(1) $||B||=\max_{1 \le i \le n}|a_i|$
è abbastanza evidente [...]
Ho difficoltà a seguirti. Se $||\cdot||_2$ su $CC^{n,n}$ è la norma euclidea indotta, consideriamo pure che $\rho(AB) \le ||A||_2 \cdot ||B||_2 = \max_{1 \le i \le n} |a_i| \cdot ||A||_2$, quando $A,B \in CC^{n,n}$ e $B$ è diagonale di elementi $a_1, \ldots, a_n \in CC$. E allora ...?
E allora ...?
e allora un bel niente ...
Scusa ho detto una cavolata - per tornare al raggio spettrale bisogna considerare TUTTE le norme indotte (questo basta ?? ci penso un momento--).
Pero' mi pare che la valutazione della norma di una matrice diagonale come il massimo modulo dei suoi elementi (qualunque sia la norma)
sia corretta e quindi il ragionamento di rubik dovrebbe stare in piedi.
... ti ripeto - pur variando i termini - che non c'è ragione per cui debba scusarti. Piuttosto - come suggerisci - torniamo sul problema.
Sì, è sufficiente. E i tuoi argomenti sono definitivi. Ammesso, però, che dimostri come dalla convessità sia deducibile che, per ogni $x = (x_1, \ldots, x_n) \in CC^n$ ed ogni $a \in CC$ per cui $|a| \le 1$: $||(x_1$$, \ldots, ax_i, \ldots, x_n$$)|| \le ||x||$. Qui, ovviamente, $||\cdot||$ è una qualsiasi norma $CC^n \to RR$.
"ViciousGoblinEnters":
per tornare al raggio spettrale bisogna considerare TUTTE le norme indotte (questo basta ?? ci penso un momento--).
Sì, è sufficiente. E i tuoi argomenti sono definitivi. Ammesso, però, che dimostri come dalla convessità sia deducibile che, per ogni $x = (x_1, \ldots, x_n) \in CC^n$ ed ogni $a \in CC$ per cui $|a| \le 1$: $||(x_1$$, \ldots, ax_i, \ldots, x_n$$)|| \le ||x||$. Qui, ovviamente, $||\cdot||$ è una qualsiasi norma $CC^n \to RR$.
Ammesso, però, che dimostri come dalla convessità sia deducibile che, per ogni x=(x1,...,xn)∈ℂn ed ogni a∈ℂ per cui |a|≤1: ||(x1,...,axi,...,xn)||≤||x||. Qui, ovviamente, ||⋅|| è una qualsiasi norma ℂn→ℝ.
Ahi ahi, mai rispondere con troppa fretta. L'immagine mentale che mi ero fatto del problema e' sbagliata - in effetti, anche se le
palle sono convesse, non e' detto che siano "messe bene" rispetto agli assi. No, non e' detto che diminuendo una coordinata la norma diminusca.
Si puo' in effetti considerare in $CC^2$ la norma $||(x,y)||:=|x+y|+2|x-y|$ (le cui palle sono dei rombi con gli assi sulle bisettrici dei quadranti).
E' chiaro che $||(1,1)||=2$ mentre $||(0,1)||=3$.
Se non ti dispiace penso un po' al problema originario, a cui mi pare, non e' stata ancora data risposta.
... non mi dispiace affatto. E confermo che il problema attende ancora una soluzione.
Prendiamo $A:=((1,3),(-3,-1))$ e $B:=((-1,0),(0,1))$. Se non ho sbagliato i calcoli il polinomio caratteristico di $A$
è $P_A(\lambda)=\lambda^2+8$ che ha radici di modulo $2\sqrt{2}$, mentre
$C:=AB=((-1,3),(3,-1))$
che ha polinomio caratteristico $P_C(\lambda)=\lambda^2+2\lambda-8$ le cui radici sono
$2$ e $-4$. Quindi $\rho(A)=2\sqrt{2}$ mentre $\rho(AB)=4>\rho(A)$, pur essendo $B$ diagonale
con tutti gli elementi di modulo (minore o) eguale a $1$.
Quindi il risultato è falso ... (sigh)
Scommetterei che è vero nel caso di $A$ simmetrica.
è $P_A(\lambda)=\lambda^2+8$ che ha radici di modulo $2\sqrt{2}$, mentre
$C:=AB=((-1,3),(3,-1))$
che ha polinomio caratteristico $P_C(\lambda)=\lambda^2+2\lambda-8$ le cui radici sono
$2$ e $-4$. Quindi $\rho(A)=2\sqrt{2}$ mentre $\rho(AB)=4>\rho(A)$, pur essendo $B$ diagonale
con tutti gli elementi di modulo (minore o) eguale a $1$.
Quindi il risultato è falso ... (sigh)
Scommetterei che è vero nel caso di $A$ simmetrica.
... un vero peccato! 
Se per 'simmetrica' intendi 'hermitiana', certamente sì. Più in generale, la proprietà è vera quando $A \in CC^{n,n}$ è normale e $B \in C^{n,n}$ è diagonale. A questo punto, fingendo l'equivoco, si potrebbe rilassare la questione nei termini seguenti: se $A \in CC^{n,n}$ è simmetrica (i.e., $A = A^T$, dove l'apice indica trasposizione) e $B \in C^{n,n}$ è diagonale, è vero che $\rho(AB) \le \rho(A) \cdot \rho(B)$?
"ViciousGoblinEnters":
Scommetterei che è vero nel caso di $A$ simmetrica.
Se per 'simmetrica' intendi 'hermitiana', certamente sì. Più in generale, la proprietà è vera quando $A \in CC^{n,n}$ è normale e $B \in C^{n,n}$ è diagonale. A questo punto, fingendo l'equivoco, si potrebbe rilassare la questione nei termini seguenti: se $A \in CC^{n,n}$ è simmetrica (i.e., $A = A^T$, dove l'apice indica trasposizione) e $B \in C^{n,n}$ è diagonale, è vero che $\rho(AB) \le \rho(A) \cdot \rho(B)$?
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