Algebra delle direzione dei limiti

[zerbo1000]

esempio,

se sto facendo $Lim_(x->-3^+) (-2)/(|x+3|^2+|x|^2-2|x^2+3x|)=Lim_(x->-3^+) (-2)/(|(-3^+)+3|^2+|-3^+|^2-2|(-3^+)^2+3(-3^+)|) $ so che $(-3^+)+3=0^+$ e so anche che $(0^+)-2(0^-)=-(0^-)$ ma dopo di questo se devo fare $(-3^+)^2 -(0)^-$ non posso sapere se il risultato sarà $9^+$ o $9^-$ ?


se devo saperlo perché ad esempio sto facendo un studio di funzione, l'unico modo è vedere se la funzione interseca l'asintoto o meno?

oppure posso assegnare un valore a quei $+$ e $-$ e $3^+$ lo posso approssimare a $3,1$ e lo stesso $3^-$ approssimarlo a $2,9$ e fare i calcoli con queste approssimazioni ?

[zerbo1000]

penso di aver fatto il record di visualizzazioni su risposta, lo so che è una domanda strana, ma se qualcuno volesse cimentarsi

[robbstark1]

"zerbo1000":e so anche che $(0^+)-2(0^-)=-(0^-)$

Non so da dove ti venga fuori $0^-$, e anche se fosse, non é vero che $(0^+)-2(0^-)=-(0^-)$ per più di un motivo. Di base é sbagliato perchè $0^+$ e $0^-$ non sono quantità definite, per cui non possono essere trattate algebricamente come numeri.

"zerbo1000":
se devo saperlo perché ad esempio sto facendo un studio di funzione, l'unico modo è vedere se la funzione interseca l'asintoto o meno?

In questo caso non mi sembra ci sia un asintoto, visto che il limite viene finito. Una funzione non può intersecare un asintoto verticale, perché altrimenti non sarebbe univoca.

"zerbo1000":
oppure posso assegnare un valore a quei $+$ e $-$ e $3^+$ lo posso approssimare a $3,1$ e lo stesso $3^-$ approssimarlo a $2,9$ e fare i calcoli con queste approssimazioni ?

Questo potrebbe spesso funzionare in pratica, ma non si può dire che sia sempre valido, perché non è detto che la funzione non possa andare su e giù tra $3$ e $3,1$, essendo un intervallo finito.

Sarebbe più corretto calcolare le espressioni con $-3+\epsilon$ e $-3-\epsilon$. Per esempio per $-3+ \epsilon$:
$\epsilon^2 + 9 - 6 \epsilon + \epsilon^2 - 6 \epsilon + 2 \epsilon^2 = 4 \epsilon^2 -12 \epsilon + 9 = (3 - 2 \epsilon)^2 = 9^-$
(Un altro modo è di studiare il segno della derivata prima...)

[gugo82]

Però, se posso chiedere... Mi sfugge il motivo per cui ti importi così tanto se il denominatore tenda a $9$ da sinistra o da destra.
Infatti, tale informazione è assolutamente inutile ai fini del calcolo.

Ad ogni modo, dire che $x\to -3^+$ significa asserire contemporaneamente che $x-> -3$ e che $x> -3$; pertanto quando $x-> -3^+$ hai:
\[
\begin{split}
x+3 &> 0\\
x &< 0\\
x^2 + 3x &= x(x+3)\\
&<0
\end{split}
\]
dunque:
\[
\begin{split}
|x+3|^2 + |x|^2 - 2|x^2+3x| &= (x+3)^2 + x^2 + 2(x^2 +3x) \\
&= x^2+6x+9+x^2+2x^2+6x\\
&=4x^2+12x+9\\
&=9 + 4x(x+3)\\
&<9\; .
\end{split}
\]
Conseguentemente $|x+3|^2 + |x|^2 - 2|x^2+3x| -> 9^-$ per $x\to -3^+$.

[zerbo1000]

per avere l'informazione per disegnare correttamente la funzione sul grafico, stavo cercando di ricavare il maggior numero di informazioni possibile solo da quel calcolo e quelli simili, cioè gli altri limiti, non dico che fosse necessario, volevo solo sperimentare questo metodo