$a_n in NN$

[Gi81]

Sia $(a_n)_{n in NN\\{0}}$ la successione così definita: ${(a_1=1),(a_{n+1} = 2 a_n * sqrt{3(a_n)^2+1}):}$
Dimostrare che per ogni $n in NN\\{0}$ si ha $a_n in NN$

Se serve, i primi elementi della successione sono
$a_1=1$,
$a_2=2*1*2=4$,
$a_3=2*4*7=56$,
$a_4= 2*56*97=10864$,
$a_5=2*10864*18817=408855776$

[theras]

Ad occhio mi pare che,procedendo col I° Pricipio d'induzione,basti verificare come,fissato a piacere $n in NN$,si abbia $a_n in NNrArr(sqrt(3a_n^2+1) in NN rArr)a_(n+1)(=2a_n sqrt(3a_n^2+1)) in NN$:
saluti al web.

[totissimus]

\( a_{n+1}^2=12a_{n}^4+4a_n^2=4a_{n}^2(3a_n^2+1)\)

\( a_{n+2}^2=4a_{n+1}^2(3a_{n+1}^2+1)=4a_{n+1}^2[3(12a_n^4+4a_n^2)+1]=4a_{n+1}^2(36a_n^4+12a_n^2+1)=\)
\(=4a_{n+1}^2(6a_n^2+1)^2\)

\( a_{n+2}=2a_{n+1}(6a_n^2+1)\)

[j18eos]

"totissimus":\( a_{n+1}^2=12a_{n}^4+4a_n^2=4a_{n+1}^2(3a_n^2+1) \)...

Perché?

[Gi81]

@totissimus: ok
@j18eos: quel passaggio discende immediatamente dalla definizione di $a_{n+1}$

Si può arrivare alla tesi anche dimostrando quanto segue:
per ogni $n in NN$,
se $3n^2 +1$ è un quadrato perfetto allora, posto $m=2nsqrt(3n^2+1)$, si ha che anche $3m^2+1$ è un quadrato perfetto.
(la dimostrazione è immediata)

[j18eos]

Che la prima eguaglianza discenda dalla definizione ricorsiva di \(\displaystyle a_{n+1}\) è chiaro, la seconda eguaglianza non mi è affatto chiara; a meno che totissimus non abbia sbagliato il pedice...

[Gi81]

Sì, hai ragione: ha sbagliato il pedice (errore di distrazione immagino)

[totissimus]

Ho corretto la svista segnalata da j18eos. Grazie.