$3$ dimostrazioni in una
L'argomento che tratterò in questo post ha a che fare con l' irrazionalità di $\pi, \ln(2)$ e $ \zeta(3)$, in realtà quello che mostrerò sarà un procedimento generale [nota]Letto in un articolo del matematico Huylebrouck[/nota] grazie al quale ci risulterà possibile dimostrare l'irrazionalità di tutte e tre le costanti.
Sia $\xi$ un numero reale di cui vogliamo mostrare l'irrazionalità. Consideriamo la famiglia di integrali:
$$\int_{0}^{1}x^jf(x)dx=R_j+S_j\xi$$,
con $j \in NN$ e $R_j,S_j \in QQ$, $f$ è una funzione sconosciuta e come si può facilmente intuire dipenderà dalla costante $\xi$.
Dunque se $\xi=a/b$ per degli interi $a,b$ allora $\int_{0}^{1}x^jf(x)dx=R_j+S_j\xi=C_j/D_j$ con $C_j,D_j$ interi. Questa proprietà si conserva se moltiplichiamo per degli interi questi integrali e li sommiamo. Dunque, se prendiamo una successione di interi $(p_{nj})_n$ si può scrivere:
$$\int_{0}^{1}\sum_{j=0}^{n}p_{nj}x^jf(x)dx=\sum_{j=0}^{n}p_{nj}\int_{0}^{1}x^jf(x)dx=\sum_{j=0}^{n}p_{nj}(C_j/D_j)=\frac{E_n}{F_n}$$
sempre con $E_n,F_n$ interi.
Applichiamo questa proprietà ai polinomi di Legendre:
$$P_n(x)=\frac{1}{n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^n(1-x)^n)=\sum_{j=0}^{n}p_{nj}x^j$$
con $p_{nj} \in ZZ$.
Perché i polinomi di Legendre? La scelta è dettata dalla comodità, infatti l'integrazione per parti risulterà più facile.
Quindi:
$$\frac{A_n}{B_n}=\int_{0}^{1}P_n(x)f(x)dx=\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}\frac{d}{dx}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^n(1-x)^n)f(x)dx=-\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}(\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^n(1-x)^n))\frac{df(x)}{dx}dx$$
con $A_n,B_n \in ZZ$. Integrando n volte si ha
$$\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\frac{d^{n}f(x)}{dx^{n}}dx$$
$f$ viene scelta in modo che:
$$|\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}(x^n(1-x)^n)\frac{d^{n}f(x)}{dx^{n}}dx|=|\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}(g(x))^n h(x)dx|$$
sia $M$ il massimo di di $g(x)$ in $[0,1]$ sufficientemente piccolo da avere:
$$0<|A_n|=|B_n\int_{0}^{1}P_n(x)f(x)dx|\leq |B_n\int_{0}^{1}\frac{M^n}{n!} h(x)dx|\rightarrow 0$$
che è assurdo poiché $A_n$ è un intero. Ciò implica che $\xi$ non è razionale.
Dimostrare che $\pi$ e $\zeta(3)$ sono irrazionali scegliendo per $\zeta(3)$ la funzione $f(x)=\int_{0}^{1}\frac{P_n(y)}{1-xy}\lnxydy$.
Sia $\xi$ un numero reale di cui vogliamo mostrare l'irrazionalità. Consideriamo la famiglia di integrali:
$$\int_{0}^{1}x^jf(x)dx=R_j+S_j\xi$$,
con $j \in NN$ e $R_j,S_j \in QQ$, $f$ è una funzione sconosciuta e come si può facilmente intuire dipenderà dalla costante $\xi$.
Dunque se $\xi=a/b$ per degli interi $a,b$ allora $\int_{0}^{1}x^jf(x)dx=R_j+S_j\xi=C_j/D_j$ con $C_j,D_j$ interi. Questa proprietà si conserva se moltiplichiamo per degli interi questi integrali e li sommiamo. Dunque, se prendiamo una successione di interi $(p_{nj})_n$ si può scrivere:
$$\int_{0}^{1}\sum_{j=0}^{n}p_{nj}x^jf(x)dx=\sum_{j=0}^{n}p_{nj}\int_{0}^{1}x^jf(x)dx=\sum_{j=0}^{n}p_{nj}(C_j/D_j)=\frac{E_n}{F_n}$$
sempre con $E_n,F_n$ interi.
Applichiamo questa proprietà ai polinomi di Legendre:
$$P_n(x)=\frac{1}{n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^n(1-x)^n)=\sum_{j=0}^{n}p_{nj}x^j$$
con $p_{nj} \in ZZ$.
Perché i polinomi di Legendre? La scelta è dettata dalla comodità, infatti l'integrazione per parti risulterà più facile.
Quindi:
$$\frac{A_n}{B_n}=\int_{0}^{1}P_n(x)f(x)dx=\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}\frac{d}{dx}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^n(1-x)^n)f(x)dx=-\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}(\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^n(1-x)^n))\frac{df(x)}{dx}dx$$
con $A_n,B_n \in ZZ$. Integrando n volte si ha
$$\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\frac{d^{n}f(x)}{dx^{n}}dx$$
$f$ viene scelta in modo che:
$$|\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}(x^n(1-x)^n)\frac{d^{n}f(x)}{dx^{n}}dx|=|\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}(g(x))^n h(x)dx|$$
sia $M$ il massimo di di $g(x)$ in $[0,1]$ sufficientemente piccolo da avere:
$$0<|A_n|=|B_n\int_{0}^{1}P_n(x)f(x)dx|\leq |B_n\int_{0}^{1}\frac{M^n}{n!} h(x)dx|\rightarrow 0$$
che è assurdo poiché $A_n$ è un intero. Ciò implica che $\xi$ non è razionale.
Dimostrare che $\pi$ e $\zeta(3)$ sono irrazionali scegliendo per $\zeta(3)$ la funzione $f(x)=\int_{0}^{1}\frac{P_n(y)}{1-xy}\lnxydy$.
Risposte
Trovo l'argomento molto interessante, per quanto non sia facile per ogni numero irrazionale trovare la giusta $f$ da inserire nell'integrale. Tuttavia ho letto l'articolo di Huylebrouck e c'è un dettaglio che non mi è chiaro (sicuramente è una mia mancanza, visto che non sono laureato in matematica):
Se anche $A_n/B_n$ è supposto per assurdo razionale, per ogni dato $n$, nulla vieta che $A_n/B_n -> 0$ se $B_n$ cresce più velocemente di $A_n$. Questa ipotesi, certamente valida per i casi in esame, non mi sembra sia mai stata esplicitamente dimostrata. Cosa mi sono perso?
Se anche $A_n/B_n$ è supposto per assurdo razionale, per ogni dato $n$, nulla vieta che $A_n/B_n -> 0$ se $B_n$ cresce più velocemente di $A_n$. Questa ipotesi, certamente valida per i casi in esame, non mi sembra sia mai stata esplicitamente dimostrata. Cosa mi sono perso?
L'assurdo, quindi l'affermazione che $\xi$ è irrazionale, segue dal fatto che per un $N$ sufficientemente grande $0<|B_N\int_0^1M^N/(N!)h(x)dx|<1$ cioè l'intero $|A_N|$ è "costretto" a stare tra zero e uno
Se $B_n$ cresce velocemente o no rispetto a $A_n$ questo a noi non interessa, basta che per la funzione scelta esista $N$ che verifichi quanto detto prima. Morale: tutto dipende da $f$ non saprei se per ogni reale (irrazionale) è possibile trovare la funzione.
Se $B_n$ cresce velocemente o no rispetto a $A_n$ questo a noi non interessa, basta che per la funzione scelta esista $N$ che verifichi quanto detto prima. Morale: tutto dipende da $f$ non saprei se per ogni reale (irrazionale) è possibile trovare la funzione.
D'accordo finché scrivi quella relazione è chiaro, quello che non mi convince é come viene applicata nell'articolo.
Riporto per esempio il caso di $\pi$, che è più semplice:
Riporto per esempio il caso di $\pi$, che è più semplice:
Allora...
$\int_{0}^{1}x^j\sin(\pix)dx \in Q$ per ogni $j \in NN$ questo perché $\pi=a/b$ dunque anche $\int_{0}^{1}P_n\sin(\pix)dx=A_n/B_n \in Q$ per ogni $n$, praticamente viene fuori un polinomio in $\pi$ da cui si può vedere che $B_n=b^n$, quindi:
$$|b^{2n}\int_{0}^{1}P_{2n}\sin(\pi x)dx|=|b^{2n}\int_{0}^{1}\frac{1}{(2n)!}x^{2n}(1-x)^{2n}\pi^{2n}\sin(\pi x)dx|=|A_{2n}|\leq \frac{(\frac{a}{4})^{2n}}{(2n)!} \rightarrow 0$$
Ho scelto 2n così mi ritorna il seno quando derivo.
$\int_{0}^{1}x^j\sin(\pix)dx \in Q$ per ogni $j \in NN$ questo perché $\pi=a/b$ dunque anche $\int_{0}^{1}P_n\sin(\pix)dx=A_n/B_n \in Q$ per ogni $n$, praticamente viene fuori un polinomio in $\pi$ da cui si può vedere che $B_n=b^n$, quindi:
$$|b^{2n}\int_{0}^{1}P_{2n}\sin(\pi x)dx|=|b^{2n}\int_{0}^{1}\frac{1}{(2n)!}x^{2n}(1-x)^{2n}\pi^{2n}\sin(\pi x)dx|=|A_{2n}|\leq \frac{(\frac{a}{4})^{2n}}{(2n)!} \rightarrow 0$$
Ho scelto 2n così mi ritorna il seno quando derivo.
Adesso credo di avere capito, grazie. Ho calcolato $\int_0^1 x^j \sin(\pi x) dx$ per alcuni valori di $j$, ottenendo:
$\int_0^1 \sin(\pi x) dx = 2/\pi$
$\int_0^1 x \sin(\pi x) dx = 1/\pi$
$\int_0^1 x^2 \sin(\pi x) dx = 1/\pi - 4/\pi^3$
$\int_0^1 x^3 \sin(\pi x) dx = 1/\pi - 6/\pi^3$
$\int_0^1 x^4 \sin(\pi x) dx = 1/\pi - 12/\pi^3 + 48/\pi^5$
$\int_0^1 x^5 \sin(\pi x) dx = 1/\pi - 20/\pi^3 + 120/\pi^5$
Dunque siccome le potenze di $\pi$ compaiono al denominatore, per $j$ dispari si ha $B_n = a^n$, mentre per $j$ pari $B_n = a^{n+1}$.
Pertanto nel caso $j$ dispari:
$ |A_n| = |a^n \int_0^1 P_n(x) \sin(\pi x) dx | = |a^n \int_{0}^{1} \frac{1}{n!}x^{n}(1-x)^{n}\pi^{n}(\pm \cos(\pi x))dx| \le (a \pi/4)^n /(n!) -> 0$
Nel caso $j$ pari spunterebbe una $a$ in più, e il coseno diventa seno, come hai fatto notare nel post precedente, ma questo non incide sul risultato.
$\int_0^1 \sin(\pi x) dx = 2/\pi$
$\int_0^1 x \sin(\pi x) dx = 1/\pi$
$\int_0^1 x^2 \sin(\pi x) dx = 1/\pi - 4/\pi^3$
$\int_0^1 x^3 \sin(\pi x) dx = 1/\pi - 6/\pi^3$
$\int_0^1 x^4 \sin(\pi x) dx = 1/\pi - 12/\pi^3 + 48/\pi^5$
$\int_0^1 x^5 \sin(\pi x) dx = 1/\pi - 20/\pi^3 + 120/\pi^5$
Dunque siccome le potenze di $\pi$ compaiono al denominatore, per $j$ dispari si ha $B_n = a^n$, mentre per $j$ pari $B_n = a^{n+1}$.
Pertanto nel caso $j$ dispari:
$ |A_n| = |a^n \int_0^1 P_n(x) \sin(\pi x) dx | = |a^n \int_{0}^{1} \frac{1}{n!}x^{n}(1-x)^{n}\pi^{n}(\pm \cos(\pi x))dx| \le (a \pi/4)^n /(n!) -> 0$
Nel caso $j$ pari spunterebbe una $a$ in più, e il coseno diventa seno, come hai fatto notare nel post precedente, ma questo non incide sul risultato.