$1<=b<=Y => | x -a/b|<=1/(bY)$

[Gi81]

Dimostrare che per ogni $x in RR$ e per ogni $Y>=1$
esistono $a,b in ZZ$, tra loro coprimi, con $1<=b<=Y$, tali che $|x-a/b|<=1/(bY)$

[Edex1]

Io provo

Poiché si è supposto $a,b$ comprimi allora si può scrivere:
$|(bx-a)/b| <= 1/(Yb)$ e poiché $b>=1$ si può ancora sviluppare:
$|bx-a|<=1/Y$
Poiché inoltre $Y>=1$ il secondo membro della disequazione sarà:
$0<1/Y<=1$
Il problema si riduce quindi a trovare un numero tale che valga la seguente proprietà:
$-1/Y <= bx – a <= 1/Y$
Cioè:
$(-1+aY)/(Yb) <= x <= (1+aY)/(Yb)$
Per il teorema del continuo sulla retta reale (poiché si è supposto $x in RR$) è sempre possibile trovare tra due numeri (punti) un terzo numero (punto) e il problema ha quindi sempre soluzione.
Che dite?

[Gi81]

Ma non devi trovare $x$ in funzione di $a$, $b$ e $Y$. Devi trovare $a$ e $b$ in funzione di $x$ e $Y$.

[Edex1]

Ah hai ragione! Proviamo così allora (scusate se sparo cavolate, sono i miei primi tentativi )

Partendo da:
$-1/(Yb) <= x - a/b <= 1/(Yb)$
segue che:
$[1] -1/(Yb) -x <= -a/b <= 1/(Yb) -x$
Poichè:
$1/(Yb) >= 1/(Y^2)$
e
$-1/(Yb) <= -1/(Y^2)$
allora se è verificata
$[2] -1/(Y^2) -x <= -a/b <= 1/(Y^2) -x$
lo sarà anche la $[1]$.
Dalla $[2]$ segue che $ -1/(Y^2) + x <= a/b <= 1/(Y^2) + x$
E poichè $a/b$ con $a,b$ comprimi e $a,b in ZZ$ è un numero che fa parte di $QQ$ e l'insieme dei numeri razionali è denso sulla retta, allora si può sempre trovare un numero esprimibile nella forma $a/b$, con $a,b$ comprimi, tale che sia soddisfatta la condizione $[2]$.
Essendo essa più restrittiva della $[1]$ ciò vuol dire che anche per essa si può sempre trovare una soluzione e cioè si possono sempre trovare due numeri $a,b$ comprimi che soddisfano la condizione desiderata.

[Gi81]

Il fatto che esista un razionale tra $-1/(Y^2) +x $ e $1/(Y^2) +x$ non implica che $1<=b<=Y$.

PS: si dice coprimi, non comprimi.