Vorrei sottoporrvi 1esercizio grazie x la vostra attenzione
Ho due giocatori che li chiamo 1 e 2 che contrattano su come ripartire tra loro un dollaro. Entrambi dichiarano simultaneamente le quote di cui desiderano appropriarsi s(1) ed s(2)
con s(1) maggiore o uguale a zero ed s(2) minore o uguale a 1.
Se s(1)+s(2) è minore o uguale a 1 i giocatori ricevono le quote che hanno dichiarato se s(1)+s(2) è maggiore strettamente di 1 i giocatori non ricevono nulla.
Quali sono gli equilibri di Nash in strategie pure di questo gioco?
ps. Posso rappresentare il gioco in forma normale? Cioè attraverso una bimatrice come si fa nel caso del dilemma del prigioniero?
Grazie ragazzi per la vostra attenzione
con s(1) maggiore o uguale a zero ed s(2) minore o uguale a 1.
Se s(1)+s(2) è minore o uguale a 1 i giocatori ricevono le quote che hanno dichiarato se s(1)+s(2) è maggiore strettamente di 1 i giocatori non ricevono nulla.
Quali sono gli equilibri di Nash in strategie pure di questo gioco?
ps. Posso rappresentare il gioco in forma normale? Cioè attraverso una bimatrice come si fa nel caso del dilemma del prigioniero?
Grazie ragazzi per la vostra attenzione
Risposte
Un gioco a due giocatori in forma strategica è: $(X,Y,f,g)$. Il significato dovrebbe essere evidente: gli elementi di $X$ sono le strategie di $I$, $Y$..., $f(x,y)$ è il payoff per $I$ se $I$ usa la strategia $x \in X$ e $II$ usa $y \in Y$, $g(x,y)$...
Qui evidentemente $X=Y=[0,1]$
$f(x,y) = x$ se $x+y \le 1$; $f(x,y) = 0$ altrimenti.
$g(x,y) = y$ se $x+y \le 1$; $g(x,y) = 0$ altrimenti.
Visto che gli spazi delle strategie sono infiniti, scrivere sotto forma di matrice il gioco richiederebbe troppo spazio
In tutta sincerità, mi stupisce che tu faccia questa domanda.
E' facile verificare, direttamente dalla definizione, che tutti e soli gli equilibri di questo gioco sono dati dalle coppie $(x,y)$ t.c. $x+y = 1$.
Si tratta di un gioco ben noto. Bastava zio Google e trovavi, ad esempio:
http://en.wikipedia.org/wiki/Nash_bargaining_game
cui ti rinvio per altre info, se ti interessano.
Qui evidentemente $X=Y=[0,1]$
$f(x,y) = x$ se $x+y \le 1$; $f(x,y) = 0$ altrimenti.
$g(x,y) = y$ se $x+y \le 1$; $g(x,y) = 0$ altrimenti.
Visto che gli spazi delle strategie sono infiniti, scrivere sotto forma di matrice il gioco richiederebbe troppo spazio
In tutta sincerità, mi stupisce che tu faccia questa domanda.
E' facile verificare, direttamente dalla definizione, che tutti e soli gli equilibri di questo gioco sono dati dalle coppie $(x,y)$ t.c. $x+y = 1$.
Si tratta di un gioco ben noto. Bastava zio Google e trovavi, ad esempio:
http://en.wikipedia.org/wiki/Nash_bargaining_game
cui ti rinvio per altre info, se ti interessano.
il gioco mi sembra molto simile all'ultimatum game...
"marco vicari":
il gioco mi sembra molto simile all'ultimatum game...
Beh, no. E' significativamente diverso. Questo è un gioco simmetrico, mentre l'ultimatum game è "naturalmente" asimmetrico.
Semmai, c'è l'arbitro che ha dato un ultimatum ai giocatori
Mi spiego. Non si capisce bene da dove vengano fuori le regole del gioco. Una interpretazione plausibile è che i due sottomettano le loro scelte ad arbitro esterno. E questo qui, se vede che le richieste non sono mutuamente compatibili, li bastona. Nel senso che non gli da niente.
Ovviamente, in un setting di questo tipo non si capisce perché l'arbitro debba essere così drastico.
Potrebbe usare altri modi: una riduzione proporzionale delle richieste, finché non siano compatibili (ovvero, da $(x,y)$ passare a: $(\frac{100x}{x+y},\frac{100y}{x+y})$. Notare che è carino se lo fa sempre, e non solo quando $x+y > 100$. Oppure l'arbitro potrebbe usare una delle tante soluzioni proposte per la soluzione di un "gioco di bancarotta".
Grazie Fioravante, ho riletto le regole del gioco e ho capito la differenza... 
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