Tesina sulla teoria dei giochi
chi ha voglia di leggerla e di darmi qualche consiglio? sempre che questo non violi le regole del forum.
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LA TEORIA DEI GIOCHI
La vita merita di essere vissuta
per giocare ai più bei giochi… e vincerli.
-Platone
La teoria dei giochi è una branca della matematica che si occupa principalmente di prendere decisioni. Si applica a tutti i tipi di situazioni in cui si propone uno scontro, nel quale i contendenti devono prendere le decisioni più favorevoli ai loro interessi, senza conoscere quelle che prenderanno gli avversari.
È utilizzata in ogni campo, ad esempio economia, psicologia, sociologia, scienze politiche, militari e altro ancora.
Indice
introduzione…………………………………………………………………………………………………..1
genesi della teoria dei giochi…………………………………………………………………………...3
applicazioni della teoria dei giochi…………………………………………………………………..7
• teoria dei giochi applicata alla sociologia:
dilemma del prigioniero………………………………………………………………………...7
• teoria dei giochi applicata all’economia:
problema della pubblicità………………………………………………………………………8
• teoria dei giochi applicata alla psicologia:
il gioco della gallina……………………………………………………………………………..10
• teoria dei giochi applicata all’ecologia:
il caso dei falchi e delle colombe…………………………………………………………..11
• teoria dei giochi applicata alle scienze militari:
la guerra fredda…………………………………………………………………………………..12
Genesi della Teoria dei Giochi
I nove decimi della matematica,
con l’eccezione di quelli che hanno origine nelle necessità di
ordine pratico, consistono nella soluzione di indovinelli.
-Jean Dieudonné
La Teoria dei Giochi vide la luce nel 1944, con la pubblicazione parte di John Von Neumann e Oskar Morgenstern, rispettivamente un matematico e un economista, del trattato Theory of Games and Economic Behaviour, nel quale i due, a partire da un tipo astratto di gioco, in cui si conoscono già guadagni e perdite di ciascun giocatore in seguito ad una giocata determinata, vogliono trovare un metodo per determinare la migliore strategia per ciascun giocatore.
In realtà si tratta solo di un’”ufficializzazione”, dato che giochi e matematica sono sempre stati legati nella storia dell’uomo: persino tra gli antichi Babilonesi e gli antichi Egizi, dove la matematica era essenzialmente di carattere pratico, abbiamo notizie di giochi da scacchiera o problemi di tipo ricreativo.
In riferimento ai giochi da scacchiera troviamo il Senet, in Egitto, e il Gioco Reale di Ur (figura a lato), in Babilonia.
I problemi di carattere ricreativo invece li troviamo nel Papiro Rhind, scoperto nel tempio funerario di Ramsete II, che, essendo datato circa 1650 a.C., costituisce uno dei documenti più antichi di matematica egizia conosciuti. Per dare un’idea dei problemi in esso contenuti il problema 24 dice così: “ah, il totale e la settima parte fanno 19”, ovvero trova quel numero che sommato alla sua settima parte dia 19.
Un passo molto importante verso la teoria dei giochi viene fatto dal re Alfonso X detto il Saggio: egli commissiona il Libro dei giochi, che viene pubblicato nel 1283, è un saggio che si occupa dei principali giochi da tavolo conosciuti alla sua epoca, come gli scacchi, l’alquerque, i giochi di dadi e pedine e addirittura il backgammon. La peculiarità di questo libro, che si occupa più di giochi che di aspetti matematici, è però che nell’analisi dei giochi si ricerca una “strategia vincente” (su cui si fonda la Teoria dei Giochi).
Come abbiamo visto la matematica seria e la matematica ludica erano coesistite fin dall’inizio di questa scienza, la divisione della matematica ricreativa come scienza indipendente (includendo l’analisi dei giochi) avviene solo nel 1612 con la pubblicazione del libro Problèmes plaisants et délectables qui se font par le nombres di Clause-Gaspar Bachet de Méziriac. A partire da questo momento apparvero diverse opere di questo genere, tra le quali le più importanti furono Récréations mathématiques et physiques, pubblicata da Jean E. Montucla nel 1725 e Rational Recreations, William Hooper 1774.
Tuttavia accanto a queste autori troviamo altri grandi matematici che pur non pubblicando opere specifiche idearono dei problemi che sarebbero diventati classici del genere: i principali sono Isaac Newton, Leonhard Euler e Carl Friedrich Gauss.
Newton propose (e risolse) nella sua Arithmetica Universalis del 1707 diverse questioni degne di nota, una di queste chiede: se si lanciano simultaneamente un certo numero di dadi non truccati, quale delle tre seguenti possibilità ha maggiore probabilità di successo?
1. Si ottiene almeno un 6 lanciando 6 dadi;
2. Si ottengono almeno due 6 lanciando 12 dadi;
3. Si ottengono almeno tre 6 lanciando 18 dadi.
Euler, che più degli altri si dedicò alla matematica ricreativa, è ricordato invece per lo studio dei “quadrati greco latini” o “quadrati euleriani” (a tutti gli effetti gli antenati dei moderni sudoku) e per il “problema dei ponti di Könisberg” (vedi figura a lato). Tale problema chiede se sia possibile realizzare un percorso a piedi che inizi in una qualsiasi delle quattro parti di terraferma e incroci tutti i ponti una sola volta. Euler dimostrò che non esiste nessun percorso di questo tipo e stabilì le condizioni che permettono di conoscere a priori se un percorso sarà possibile o no.
Anche Gauss si dedicò allo studio di problemi ricreativi, tra i quali il “problema delle otto regine”, che consiste nel posizionare su una scacchiera otto regine in modo tale che nessuna possa minacciare un’altra (vedi figura a lato). Egli verificò che il problema aveva 92 soluzioni e generalizzò poi per n regine in una scacchiera n x n.
Tra il XIX e il XX secolo i giochi e la matematica ricreativa conobbero uno sviluppo ancora maggiore grazie a personalità come Lewis Carrol (1832-1898), autore di “Alice nel Paese delle Meraviglie”, Èdouard Lucas (1842-1891), ma soprattutto Henry E. Dudeney (1857-1930) e Sam Loyd (1841-1911).
Con essi la matematica ludica si diffonde in ogni classe sociale riscuotendo molto successo: Carrol pubblica addirittura un’intera collezione di libri con il titolo di Curiosa Mathematica, in cui espone nuovi quesiti e giochi matematici che ancora oggi troviamo sulle pagine di settimanali come “la Settimana Enigmistica”, con un livello di difficoltà che va dal semplice scherzo (es. ho due orologi, uno fermo e uno che ritarda di un minuto; quale dei due segna meglio l’ora?) a problemi di difficoltà notevole (es. dati tre punti a caso su un piano infinito, qual è la probabilità che formino un triangolo ottusangolo?).
Di Lucas ricordiamo l’opera Récréations mathématiques, un compendio dedicato all’analisi matematica di giochi ed altri temi ricreativi, e l’invenzione di diversi giochi originali, tra i quali “le Torri di Hanoi” (vedi figura a lato), ancora oggi in commercio.
Dudeney e Loyd sono forse i due autori più prolifici di tutti i tempi nel campo della matematica ludica, e molte delle ricreazioni note oggigiorno sono raccolte nelle loro opere più importanti, rispettivamente Amusements in Mathematics (pubblicata nel 1917) e Sam Loyd’s Cyclopaedia of 5000 Puzzles, Tricks and Conundrums (pubblicata postuma dal figlio nel 1914).
Così torniamo al Theory of Games and Economic Behaviour del 1947, tuttavia lo sviluppo non termina qui, poiché mentre la teoria economica tradizionale forniva un sicuro criterio di razionalità in condizioni di certezza, la teoria dei giochi mostrò che la razionalità in condizioni d’incertezza e d’interazione tra i partecipanti poteva condurre a soluzioni molto diverse da quelle tradizionali, e quindi trovò un perfetto terreno di coltura durante la seconda guerra mondiale e nel dopoguerra, soprattutto in Gran Bretagna e negli Stati Uniti (con la Rand Corporation, una “think tank” di scienziati e matematici).
Diversi personaggi contribuirono allo sviluppo della Teoria dei Giochi, in particolare Tucker ideò il “dilemma del prigioniero”, Luce e Raiffa estesero la teoria a contesti decisionali incerti e complessi, Shelling (premio nobel per l’economia nel 2005) compì degli studi nel campo del coordinamento e deterrenza, e infine Nash (premio nobel per l’economia nel 1994) introdusse il concetto di “equilibrio di Nash”, ovvero egli afferma che il risultato del gioco è un punto di equilibrio se ciascun giocatore ritiene che il suo modo di giocare sia stato soddisfacente.
Applicazioni della Teoria dei Giochi
La Teoria dei Giochi ha un campo di applicazione vastissimo, ovvero ogni scienza in cui si verifichino situazioni di scontro, spaziando dall’economia alla politica, dalle scienze militari alla psicologia, dalla biologia all’informatica, dalla sociologia alle scienze motorie!
• Teoria dei Giochi applicata alla sociologia
Il dilemma del prigioniero
Una classica applicazione alla sociologia consiste nel “dilemma del prigioniero”, forse il problema più famoso e controverso di teoria dei giochi: due criminali sono arrestati e accusati di aver commesso un reato, vengono posti in celle diverse, senza possibilità di comunicare, e viene data a loro una scelta, ovvero confessare o non confessare, sapendo che se uno dei due confessa viene liberato ma l’altro dovrà scontare 7 anni, se confessano entrambi dovranno scontare 6 anni e se nessuno dei due confessa dovranno scontare solo 1 anno. Come agiranno i due criminali?
Prigioniero B
confessa non confessa
Prigioniero A confessa (6;6) (0;7)
non confessa (7;0) (1;1)
La strategia migliore in un gioco del genere è quella non cooperativa, ovvero ogni giocatore pensa esclusivamente a minimizzare la propria condanna, e siccome confessando rischia da 0 a 6 anni e non confessando rischia da 1 a 7 anni, naturalmente sceglierà di confessare.
Certamente il risultato migliore per i due sarebbe non confessare, ma non è un punto di equilibrio di Nash! Se l’altro non confessa, un giocatore confessando sarebbe rilasciato, per questo non sarà contento di scontare un anno di galera!
In tale problema così sembra cadere l’assioma di razionalità che sta alla base della teoria dei giochi, poiché i giocatori compiono un’azione che procura loro più danni dell’alternativa.
Tuttavia se consideriamo i criminali come una coppia, e non come singoli, il risultato cambia:
Prigioniero B
confessa non confessa
Prigioniero A confessa (12) (7)
non confessa (7) (2)
Questa seconda formulazione prevede infatti che il prigioniero debba preferire il danno minore per la coppia, tuttavia questo non è il suo obbiettivo nella formulazione originaria.
Le dinamiche di un gruppo non sono quindi le stesse delle dinamiche dei singoli che ne fanno parte, ma anzi sono superiori.
Le uniche soluzioni possibili per risolvere il dilemma del prigioniero sono:
1. Un accordo precostituito, che tuttavia può non risultare efficace poiché presuppone la piena fiducia tra i giocatori;
2. Tutti hanno la medesima capacità logica, e quindi tutti prenderanno la stessa decisione, che coinciderà con la decisione migliore per il gruppo.
• Teoria dei Giochi applicata all’economia
Il problema della pubblicità
Due imprese dello stesso tipo, A e B, vogliono promuovere i loro prodotti ed entrambe ricevono un’offerta da un canale televisivo: possono fare l’annuncio di pomeriggio, con il 40% di share, o la sera con il 60% di share; non possono scegliere entrambe le fasce orarie e sanno che non ci sono sovrapposizioni di spettatori tra le due fasce.
La matrice dei benefici delle due imprese sarà di questo tipo:
Impresa B
pubblicità di pomeriggio pubblicità di sera
Impresa A pubblicità di pomeriggio (12;12) (20;30)
pubblicità di sera (30;20) (18;18)
(i valori esprimono la percentuale di spettatori che comprerà il prodotto).
E considerando i benefici di un solo giocatore (una sola impresa) la matrice sarà di questo tipo:
Impresa B
pubblicità di pomeriggio pubblicità di sera
Impresa A pubblicità di pomeriggio (12) (20)
pubblicità di sera (30) (18)
Si potrebbe così pensare che la strategia migliore per ogni impresa sia scegliere la pubblicità di sera, dato che i guadagni sono compresi tra 18 e 30, mentre per la pubblicità di pomeriggio si va da 12 a 20, tuttavia se entrambe le imprese seguissero questa strategia i guadagni si ridurrebbero notevolmente.
Per massimizzare i proprio guadagni invece i due giocatori posso cooperare, alternando le due strategie in modo da non trasmettere le pubblicità nella stessa fascia, ottenendo un guadagno medio di 25.
È questa la soluzione migliore ed è anche una situazione di equilibrio.
Si noti che in nessun caso converrà rompere l’accordo: un conflitto in una fascia oraria porterà sicuramente un guadagno minore di quello che si otterrebbe scegliendo l’altra fascia (anche la meno redditizia).
Inoltre un tale comportamento spingerebbe l’altro giocatore a smettere di cooperare.
• Teoria dei Giochi applicata alla psicologia
Il gioco della gallina
Il nome del gioco si riferisce alla metafora sulla codardia e generalmente si propone come una sfida tra 2 persone davanti ad una situazione di alto rischio, nella quale bisogna provare quale dei due giocatori cederà di fronte all’altro.
Una formulazione-tipo è la seguente: due autisti guidano uno contro l’altro, e dovranno decide all’ultimo se girare, per evitare lo scontro, o proseguire dritti, rischiando la vita.
Possiamo schematizzare i benefici delle diverse strategie in una matrice di questo tipo:
Autista 2
gira non gira
Autista 1 gira (3;3) (1;5)
non gira (5;1) (0;0)
Si hanno in pratica tre casi possibili:
1. Se nessuno dei due gira si ha lo scontro, che è il risultato peggiore possibile per entrambi i giocatori;
2. Se girano entrambi perdono in prestigio ma non rimangono feriti, quindi è un buon risultato per entrambi;
3. Se solo uno gira egli perde molto prestigio, mentre l’altro, al contrario, ne acquista.
Razionalmente un uomo sceglierebbe di girare, ma nessuno dei due vuole essere il primo, poiché comporterebbe un pagamento di 1 e di 5 in favore del rivale, tuttavia se entrambi non girassero allora otterrebbero il risultato peggiore in assoluto.
La strategia migliore che deve seguire ciascun giocatore in questo caso è ritardare la sterzata fino all’ultimo momento, in modo da forzare l’altro a giocare “razionalmente”, in altre parole seguire l’istinto di autoconservazione ed essere lui a sterzare e a perdere prestigio.
Un'altra soluzione può essere il blocco del volante, o dichiarare in anticipo la strategia che si userà, in modo da forzare l’altro a adottare la strategia contraria, e ottenere così il massimo dei punti.
• Teoria dei Giochi applicata all’ecologia
Il caso dei falchi e delle colombe
La teoria dei giochi può essere applicata non soltanto in situazioni in cui vi è l’intervento dell’uomo, ma anche quando l’uomo non è presente: questo è il caso della scienza della natura e, concretamente, delle teorie sull’evoluzione e sull’ecologia.
Prendere decisioni infatti non è esclusivo degli esseri umani: John Mayard Smith dimostrò nel 1978 che la teoria dei giochi è applicabile anche al comportamento di certe specie per preservare, o migliorare, il proprio sviluppo.
La lotta per la sopravvivenza di una specie si può interpretare come un processo di competizione nel quale determinati comportamenti di alcuni possono portare addirittura alla sparizione di altri. E allo stesso modo il comportamento “altruista” di certi individui può essere benefico per la collettività ma fatale per gli individui stessi.
Mayard propose il dilemma dei falchi e delle colombe, ovvero quando due animali competono per una preda e sfociano in uno scontro aggressivo ci sono due possibilità: abbandonare lo scontro, perdendo la lotta ma conservando la vita (colombe) oppure combattere e, talvolta, perdere la vita (falchi).
Se in una comunità di colombe spuntasse un piccolo gruppo di falchi questi inizialmente aumenteranno, poiché sono avvantaggiati sulle colombe, ma con l’aumentare del numero dei falchi gli scontri (e le morti) saranno sempre più frequenti.
Così si giungerà, dopo lungo tempo, a un equilibrio tra colombe e falchi (tale dinamica si verifica effettivamente nella realtà).
Falchi Colombe
Falchi (-5;-5) (10;0)
Colombe (0;10) (2;2)
Partendo da questo gioco si introduce l’idea di strategia evolutiva stabile, ovvero che resiste alle mutazioni.
Smith dimostrò così che una popolazione di soli falchi o di sole colombe non è evolutivamente stabile, mentre la soluzione adatta è una popolazione mista con 8/13 di falchi e 5/13 di colombe sarebbe evolutivamente stabile, ovvero protetta di fronte all’incremento sia dei falchi, sia delle colombe.
Si noti come in tale problema nessuna delle due strategie sia pienamente soddisfacente: i falchi hanno la meglio sulle colombe, ma non contro gli altri falchi, mentre le colombe tra di loro traggono beneficio, ma perdono contro i falchi. È così necessario intervenire, con un arbitraggio che riduca le lotte tra falchi e impedisca a questi ultimi di approfittarsi delle colombe, ovvero salvando ciò che si ha e riducendo i conflitti violenti, per questo tale arbitraggio è stato denominato “strategia borghese”.
• Teoria dei Giochi applicata alle scienze militari
La guerra fredda
Due potenze P1 e P2 si affrontano e devono decidere la loto politica sugli armamenti, e ciascuna può scegliere tra due strategie: negare ogni accordo e armarsi (strategia A) oppure cercare un accordo e disarmarsi (strategia B).
Vi saranno così quattro possibili situazioni:
Potenza P2
strategia A strategia B
Potenza P1 strategia A (A;A) corsa agli armamenti (A;B) si arma solo P1
strategia B (B;A) si arma solo P2 (B;B) disarmo
E, assegnando dei valori, otterremo una matrice di pagamento di questo tipo:
Potenza P2
strategia A strategia B
Potenza P1 strategia A (2;2) (5;0)
strategia B (0;5) (4;4)
Senza dubbio per ciascuna potenza è meglio che l’altra si disarmi e inoltre il massimo beneficio globale si ottiene quando entrambe le potenze si disarmano. Dunque se le potenze non cooperano, il maggiore risultato globale (4;4) non si può realizzare, ma se una potenza coopera, dato che non sa cosa farà l’altra, si assume un grande rischio; pertanto la fiducia diventa un elemento essenziale del gioco e, senza di essa, il maggiore risultato è totalmente instabile, perché ciascuna potenza cercherà di proteggersi da una possibile non cooperazione dell’avversario.
[xdom="hamming_burst"]Sposto nella sezione apposita. Attenzione alla sezione in futuro. Grazie![/xdom]
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LA TEORIA DEI GIOCHI
La vita merita di essere vissuta
per giocare ai più bei giochi… e vincerli.
-Platone
La teoria dei giochi è una branca della matematica che si occupa principalmente di prendere decisioni. Si applica a tutti i tipi di situazioni in cui si propone uno scontro, nel quale i contendenti devono prendere le decisioni più favorevoli ai loro interessi, senza conoscere quelle che prenderanno gli avversari.
È utilizzata in ogni campo, ad esempio economia, psicologia, sociologia, scienze politiche, militari e altro ancora.
Indice
introduzione…………………………………………………………………………………………………..1
genesi della teoria dei giochi…………………………………………………………………………...3
applicazioni della teoria dei giochi…………………………………………………………………..7
• teoria dei giochi applicata alla sociologia:
dilemma del prigioniero………………………………………………………………………...7
• teoria dei giochi applicata all’economia:
problema della pubblicità………………………………………………………………………8
• teoria dei giochi applicata alla psicologia:
il gioco della gallina……………………………………………………………………………..10
• teoria dei giochi applicata all’ecologia:
il caso dei falchi e delle colombe…………………………………………………………..11
• teoria dei giochi applicata alle scienze militari:
la guerra fredda…………………………………………………………………………………..12
Genesi della Teoria dei Giochi
I nove decimi della matematica,
con l’eccezione di quelli che hanno origine nelle necessità di
ordine pratico, consistono nella soluzione di indovinelli.
-Jean Dieudonné
La Teoria dei Giochi vide la luce nel 1944, con la pubblicazione parte di John Von Neumann e Oskar Morgenstern, rispettivamente un matematico e un economista, del trattato Theory of Games and Economic Behaviour, nel quale i due, a partire da un tipo astratto di gioco, in cui si conoscono già guadagni e perdite di ciascun giocatore in seguito ad una giocata determinata, vogliono trovare un metodo per determinare la migliore strategia per ciascun giocatore.
In realtà si tratta solo di un’”ufficializzazione”, dato che giochi e matematica sono sempre stati legati nella storia dell’uomo: persino tra gli antichi Babilonesi e gli antichi Egizi, dove la matematica era essenzialmente di carattere pratico, abbiamo notizie di giochi da scacchiera o problemi di tipo ricreativo.
In riferimento ai giochi da scacchiera troviamo il Senet, in Egitto, e il Gioco Reale di Ur (figura a lato), in Babilonia.
I problemi di carattere ricreativo invece li troviamo nel Papiro Rhind, scoperto nel tempio funerario di Ramsete II, che, essendo datato circa 1650 a.C., costituisce uno dei documenti più antichi di matematica egizia conosciuti. Per dare un’idea dei problemi in esso contenuti il problema 24 dice così: “ah, il totale e la settima parte fanno 19”, ovvero trova quel numero che sommato alla sua settima parte dia 19.
Un passo molto importante verso la teoria dei giochi viene fatto dal re Alfonso X detto il Saggio: egli commissiona il Libro dei giochi, che viene pubblicato nel 1283, è un saggio che si occupa dei principali giochi da tavolo conosciuti alla sua epoca, come gli scacchi, l’alquerque, i giochi di dadi e pedine e addirittura il backgammon. La peculiarità di questo libro, che si occupa più di giochi che di aspetti matematici, è però che nell’analisi dei giochi si ricerca una “strategia vincente” (su cui si fonda la Teoria dei Giochi).
Come abbiamo visto la matematica seria e la matematica ludica erano coesistite fin dall’inizio di questa scienza, la divisione della matematica ricreativa come scienza indipendente (includendo l’analisi dei giochi) avviene solo nel 1612 con la pubblicazione del libro Problèmes plaisants et délectables qui se font par le nombres di Clause-Gaspar Bachet de Méziriac. A partire da questo momento apparvero diverse opere di questo genere, tra le quali le più importanti furono Récréations mathématiques et physiques, pubblicata da Jean E. Montucla nel 1725 e Rational Recreations, William Hooper 1774.
Tuttavia accanto a queste autori troviamo altri grandi matematici che pur non pubblicando opere specifiche idearono dei problemi che sarebbero diventati classici del genere: i principali sono Isaac Newton, Leonhard Euler e Carl Friedrich Gauss.
Newton propose (e risolse) nella sua Arithmetica Universalis del 1707 diverse questioni degne di nota, una di queste chiede: se si lanciano simultaneamente un certo numero di dadi non truccati, quale delle tre seguenti possibilità ha maggiore probabilità di successo?
1. Si ottiene almeno un 6 lanciando 6 dadi;
2. Si ottengono almeno due 6 lanciando 12 dadi;
3. Si ottengono almeno tre 6 lanciando 18 dadi.
Euler, che più degli altri si dedicò alla matematica ricreativa, è ricordato invece per lo studio dei “quadrati greco latini” o “quadrati euleriani” (a tutti gli effetti gli antenati dei moderni sudoku) e per il “problema dei ponti di Könisberg” (vedi figura a lato). Tale problema chiede se sia possibile realizzare un percorso a piedi che inizi in una qualsiasi delle quattro parti di terraferma e incroci tutti i ponti una sola volta. Euler dimostrò che non esiste nessun percorso di questo tipo e stabilì le condizioni che permettono di conoscere a priori se un percorso sarà possibile o no.
Anche Gauss si dedicò allo studio di problemi ricreativi, tra i quali il “problema delle otto regine”, che consiste nel posizionare su una scacchiera otto regine in modo tale che nessuna possa minacciare un’altra (vedi figura a lato). Egli verificò che il problema aveva 92 soluzioni e generalizzò poi per n regine in una scacchiera n x n.
Tra il XIX e il XX secolo i giochi e la matematica ricreativa conobbero uno sviluppo ancora maggiore grazie a personalità come Lewis Carrol (1832-1898), autore di “Alice nel Paese delle Meraviglie”, Èdouard Lucas (1842-1891), ma soprattutto Henry E. Dudeney (1857-1930) e Sam Loyd (1841-1911).
Con essi la matematica ludica si diffonde in ogni classe sociale riscuotendo molto successo: Carrol pubblica addirittura un’intera collezione di libri con il titolo di Curiosa Mathematica, in cui espone nuovi quesiti e giochi matematici che ancora oggi troviamo sulle pagine di settimanali come “la Settimana Enigmistica”, con un livello di difficoltà che va dal semplice scherzo (es. ho due orologi, uno fermo e uno che ritarda di un minuto; quale dei due segna meglio l’ora?) a problemi di difficoltà notevole (es. dati tre punti a caso su un piano infinito, qual è la probabilità che formino un triangolo ottusangolo?).
Di Lucas ricordiamo l’opera Récréations mathématiques, un compendio dedicato all’analisi matematica di giochi ed altri temi ricreativi, e l’invenzione di diversi giochi originali, tra i quali “le Torri di Hanoi” (vedi figura a lato), ancora oggi in commercio.
Dudeney e Loyd sono forse i due autori più prolifici di tutti i tempi nel campo della matematica ludica, e molte delle ricreazioni note oggigiorno sono raccolte nelle loro opere più importanti, rispettivamente Amusements in Mathematics (pubblicata nel 1917) e Sam Loyd’s Cyclopaedia of 5000 Puzzles, Tricks and Conundrums (pubblicata postuma dal figlio nel 1914).
Così torniamo al Theory of Games and Economic Behaviour del 1947, tuttavia lo sviluppo non termina qui, poiché mentre la teoria economica tradizionale forniva un sicuro criterio di razionalità in condizioni di certezza, la teoria dei giochi mostrò che la razionalità in condizioni d’incertezza e d’interazione tra i partecipanti poteva condurre a soluzioni molto diverse da quelle tradizionali, e quindi trovò un perfetto terreno di coltura durante la seconda guerra mondiale e nel dopoguerra, soprattutto in Gran Bretagna e negli Stati Uniti (con la Rand Corporation, una “think tank” di scienziati e matematici).
Diversi personaggi contribuirono allo sviluppo della Teoria dei Giochi, in particolare Tucker ideò il “dilemma del prigioniero”, Luce e Raiffa estesero la teoria a contesti decisionali incerti e complessi, Shelling (premio nobel per l’economia nel 2005) compì degli studi nel campo del coordinamento e deterrenza, e infine Nash (premio nobel per l’economia nel 1994) introdusse il concetto di “equilibrio di Nash”, ovvero egli afferma che il risultato del gioco è un punto di equilibrio se ciascun giocatore ritiene che il suo modo di giocare sia stato soddisfacente.
Applicazioni della Teoria dei Giochi
La Teoria dei Giochi ha un campo di applicazione vastissimo, ovvero ogni scienza in cui si verifichino situazioni di scontro, spaziando dall’economia alla politica, dalle scienze militari alla psicologia, dalla biologia all’informatica, dalla sociologia alle scienze motorie!
• Teoria dei Giochi applicata alla sociologia
Il dilemma del prigioniero
Una classica applicazione alla sociologia consiste nel “dilemma del prigioniero”, forse il problema più famoso e controverso di teoria dei giochi: due criminali sono arrestati e accusati di aver commesso un reato, vengono posti in celle diverse, senza possibilità di comunicare, e viene data a loro una scelta, ovvero confessare o non confessare, sapendo che se uno dei due confessa viene liberato ma l’altro dovrà scontare 7 anni, se confessano entrambi dovranno scontare 6 anni e se nessuno dei due confessa dovranno scontare solo 1 anno. Come agiranno i due criminali?
Prigioniero B
confessa non confessa
Prigioniero A confessa (6;6) (0;7)
non confessa (7;0) (1;1)
La strategia migliore in un gioco del genere è quella non cooperativa, ovvero ogni giocatore pensa esclusivamente a minimizzare la propria condanna, e siccome confessando rischia da 0 a 6 anni e non confessando rischia da 1 a 7 anni, naturalmente sceglierà di confessare.
Certamente il risultato migliore per i due sarebbe non confessare, ma non è un punto di equilibrio di Nash! Se l’altro non confessa, un giocatore confessando sarebbe rilasciato, per questo non sarà contento di scontare un anno di galera!
In tale problema così sembra cadere l’assioma di razionalità che sta alla base della teoria dei giochi, poiché i giocatori compiono un’azione che procura loro più danni dell’alternativa.
Tuttavia se consideriamo i criminali come una coppia, e non come singoli, il risultato cambia:
Prigioniero B
confessa non confessa
Prigioniero A confessa (12) (7)
non confessa (7) (2)
Questa seconda formulazione prevede infatti che il prigioniero debba preferire il danno minore per la coppia, tuttavia questo non è il suo obbiettivo nella formulazione originaria.
Le dinamiche di un gruppo non sono quindi le stesse delle dinamiche dei singoli che ne fanno parte, ma anzi sono superiori.
Le uniche soluzioni possibili per risolvere il dilemma del prigioniero sono:
1. Un accordo precostituito, che tuttavia può non risultare efficace poiché presuppone la piena fiducia tra i giocatori;
2. Tutti hanno la medesima capacità logica, e quindi tutti prenderanno la stessa decisione, che coinciderà con la decisione migliore per il gruppo.
• Teoria dei Giochi applicata all’economia
Il problema della pubblicità
Due imprese dello stesso tipo, A e B, vogliono promuovere i loro prodotti ed entrambe ricevono un’offerta da un canale televisivo: possono fare l’annuncio di pomeriggio, con il 40% di share, o la sera con il 60% di share; non possono scegliere entrambe le fasce orarie e sanno che non ci sono sovrapposizioni di spettatori tra le due fasce.
La matrice dei benefici delle due imprese sarà di questo tipo:
Impresa B
pubblicità di pomeriggio pubblicità di sera
Impresa A pubblicità di pomeriggio (12;12) (20;30)
pubblicità di sera (30;20) (18;18)
(i valori esprimono la percentuale di spettatori che comprerà il prodotto).
E considerando i benefici di un solo giocatore (una sola impresa) la matrice sarà di questo tipo:
Impresa B
pubblicità di pomeriggio pubblicità di sera
Impresa A pubblicità di pomeriggio (12) (20)
pubblicità di sera (30) (18)
Si potrebbe così pensare che la strategia migliore per ogni impresa sia scegliere la pubblicità di sera, dato che i guadagni sono compresi tra 18 e 30, mentre per la pubblicità di pomeriggio si va da 12 a 20, tuttavia se entrambe le imprese seguissero questa strategia i guadagni si ridurrebbero notevolmente.
Per massimizzare i proprio guadagni invece i due giocatori posso cooperare, alternando le due strategie in modo da non trasmettere le pubblicità nella stessa fascia, ottenendo un guadagno medio di 25.
È questa la soluzione migliore ed è anche una situazione di equilibrio.
Si noti che in nessun caso converrà rompere l’accordo: un conflitto in una fascia oraria porterà sicuramente un guadagno minore di quello che si otterrebbe scegliendo l’altra fascia (anche la meno redditizia).
Inoltre un tale comportamento spingerebbe l’altro giocatore a smettere di cooperare.
• Teoria dei Giochi applicata alla psicologia
Il gioco della gallina
Il nome del gioco si riferisce alla metafora sulla codardia e generalmente si propone come una sfida tra 2 persone davanti ad una situazione di alto rischio, nella quale bisogna provare quale dei due giocatori cederà di fronte all’altro.
Una formulazione-tipo è la seguente: due autisti guidano uno contro l’altro, e dovranno decide all’ultimo se girare, per evitare lo scontro, o proseguire dritti, rischiando la vita.
Possiamo schematizzare i benefici delle diverse strategie in una matrice di questo tipo:
Autista 2
gira non gira
Autista 1 gira (3;3) (1;5)
non gira (5;1) (0;0)
Si hanno in pratica tre casi possibili:
1. Se nessuno dei due gira si ha lo scontro, che è il risultato peggiore possibile per entrambi i giocatori;
2. Se girano entrambi perdono in prestigio ma non rimangono feriti, quindi è un buon risultato per entrambi;
3. Se solo uno gira egli perde molto prestigio, mentre l’altro, al contrario, ne acquista.
Razionalmente un uomo sceglierebbe di girare, ma nessuno dei due vuole essere il primo, poiché comporterebbe un pagamento di 1 e di 5 in favore del rivale, tuttavia se entrambi non girassero allora otterrebbero il risultato peggiore in assoluto.
La strategia migliore che deve seguire ciascun giocatore in questo caso è ritardare la sterzata fino all’ultimo momento, in modo da forzare l’altro a giocare “razionalmente”, in altre parole seguire l’istinto di autoconservazione ed essere lui a sterzare e a perdere prestigio.
Un'altra soluzione può essere il blocco del volante, o dichiarare in anticipo la strategia che si userà, in modo da forzare l’altro a adottare la strategia contraria, e ottenere così il massimo dei punti.
• Teoria dei Giochi applicata all’ecologia
Il caso dei falchi e delle colombe
La teoria dei giochi può essere applicata non soltanto in situazioni in cui vi è l’intervento dell’uomo, ma anche quando l’uomo non è presente: questo è il caso della scienza della natura e, concretamente, delle teorie sull’evoluzione e sull’ecologia.
Prendere decisioni infatti non è esclusivo degli esseri umani: John Mayard Smith dimostrò nel 1978 che la teoria dei giochi è applicabile anche al comportamento di certe specie per preservare, o migliorare, il proprio sviluppo.
La lotta per la sopravvivenza di una specie si può interpretare come un processo di competizione nel quale determinati comportamenti di alcuni possono portare addirittura alla sparizione di altri. E allo stesso modo il comportamento “altruista” di certi individui può essere benefico per la collettività ma fatale per gli individui stessi.
Mayard propose il dilemma dei falchi e delle colombe, ovvero quando due animali competono per una preda e sfociano in uno scontro aggressivo ci sono due possibilità: abbandonare lo scontro, perdendo la lotta ma conservando la vita (colombe) oppure combattere e, talvolta, perdere la vita (falchi).
Se in una comunità di colombe spuntasse un piccolo gruppo di falchi questi inizialmente aumenteranno, poiché sono avvantaggiati sulle colombe, ma con l’aumentare del numero dei falchi gli scontri (e le morti) saranno sempre più frequenti.
Così si giungerà, dopo lungo tempo, a un equilibrio tra colombe e falchi (tale dinamica si verifica effettivamente nella realtà).
Falchi Colombe
Falchi (-5;-5) (10;0)
Colombe (0;10) (2;2)
Partendo da questo gioco si introduce l’idea di strategia evolutiva stabile, ovvero che resiste alle mutazioni.
Smith dimostrò così che una popolazione di soli falchi o di sole colombe non è evolutivamente stabile, mentre la soluzione adatta è una popolazione mista con 8/13 di falchi e 5/13 di colombe sarebbe evolutivamente stabile, ovvero protetta di fronte all’incremento sia dei falchi, sia delle colombe.
Si noti come in tale problema nessuna delle due strategie sia pienamente soddisfacente: i falchi hanno la meglio sulle colombe, ma non contro gli altri falchi, mentre le colombe tra di loro traggono beneficio, ma perdono contro i falchi. È così necessario intervenire, con un arbitraggio che riduca le lotte tra falchi e impedisca a questi ultimi di approfittarsi delle colombe, ovvero salvando ciò che si ha e riducendo i conflitti violenti, per questo tale arbitraggio è stato denominato “strategia borghese”.
• Teoria dei Giochi applicata alle scienze militari
La guerra fredda
Due potenze P1 e P2 si affrontano e devono decidere la loto politica sugli armamenti, e ciascuna può scegliere tra due strategie: negare ogni accordo e armarsi (strategia A) oppure cercare un accordo e disarmarsi (strategia B).
Vi saranno così quattro possibili situazioni:
Potenza P2
strategia A strategia B
Potenza P1 strategia A (A;A) corsa agli armamenti (A;B) si arma solo P1
strategia B (B;A) si arma solo P2 (B;B) disarmo
E, assegnando dei valori, otterremo una matrice di pagamento di questo tipo:
Potenza P2
strategia A strategia B
Potenza P1 strategia A (2;2) (5;0)
strategia B (0;5) (4;4)
Senza dubbio per ciascuna potenza è meglio che l’altra si disarmi e inoltre il massimo beneficio globale si ottiene quando entrambe le potenze si disarmano. Dunque se le potenze non cooperano, il maggiore risultato globale (4;4) non si può realizzare, ma se una potenza coopera, dato che non sa cosa farà l’altra, si assume un grande rischio; pertanto la fiducia diventa un elemento essenziale del gioco e, senza di essa, il maggiore risultato è totalmente instabile, perché ciascuna potenza cercherà di proteggersi da una possibile non cooperazione dell’avversario.
[xdom="hamming_burst"]Sposto nella sezione apposita. Attenzione alla sezione in futuro. Grazie![/xdom]
Risposte
Per quanto non penso violi il regolamento direi che senza dubbio risulta essere di difficile lettura. Ti suggerisco di metterlo su un file e renderlo accessibile in qualche modo.
Con tesina intendi il lavoro che devi preparare per la maturità? Mi sembra un po' troppo lungo per una singola materia e con poche connessioni con le altre (a meno che tu non faccia economia e psicologia). L'introduzione sembra comunque più curata del testo in se, cosa in genere non proprio positiva. In pratica tu hai portato avanti esempi ma non hai neanche davvero spiegato cos'é un gioco, una definizione, anche solo presa da wikipedia, andrebbe messa. Tieni comunque conto che in realtà un gioco non è solo scontro, ma una qualsiasi decisione il cui risultato dipenda in qualche modo da altri attori. Esiste comunque una definizione formale.
In ogni caso l'utente di matematica e professore in pensione Fioravante Patrone ha messo sul suo sito numerosi link sull'argomento (oltre ad averci scritto un libro e vari articoli). http://www.fioravante.patrone.name/
Con tesina intendi il lavoro che devi preparare per la maturità? Mi sembra un po' troppo lungo per una singola materia e con poche connessioni con le altre (a meno che tu non faccia economia e psicologia). L'introduzione sembra comunque più curata del testo in se, cosa in genere non proprio positiva. In pratica tu hai portato avanti esempi ma non hai neanche davvero spiegato cos'é un gioco, una definizione, anche solo presa da wikipedia, andrebbe messa. Tieni comunque conto che in realtà un gioco non è solo scontro, ma una qualsiasi decisione il cui risultato dipenda in qualche modo da altri attori. Esiste comunque una definizione formale.
In ogni caso l'utente di matematica e professore in pensione Fioravante Patrone ha messo sul suo sito numerosi link sull'argomento (oltre ad averci scritto un libro e vari articoli). http://www.fioravante.patrone.name/
grazie appunto per questo ho chiesto qualche consiglio, comunque lo so che non ci sono molti collegamenti (non faccio né psicologia né economia), guerra fredda a parte, e stavo pensando di eliminare completamente le applicazioni alla pubblicità e il gioco del pollo, e ampliare il dilemma del prigioniero che mi sembra più interessante
comunque grazie
comunque grazie
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