Teoria dei giochi maturità
Buonasera. Sto preparando la tesina di maturità sulla teoria dei giochi, in particolar modo sulle sue applicazioni strategiche in ambito militare. Ho trovato difficoltà nei concetti di Core e di valore di Shapley; nonostante abbia provato a guardare diverse versioni (comprese le sue) non sono riuscito a trovare qualcosa che, senza troppe formule ma più a livello intuitivo, enunciasse in modo chiaro questi due concetti, soprattutto con esempi concreti sul loro calcolo. Mi piacerebbe ricevere il suo aiuto in proposito e ovviamente critiche e consigli sull'impronta generale della tesina.
Grazie per l'attenzione,
Giacomo
Grazie per l'attenzione,
Giacomo
Risposte
Per limitare le complicazioni, mi riferirò solo a giochi superadditivi.
La idea di nucleo è molto semplice. Per certi versi, fin troppo semplice, nel senso che trascura aspetti di cui potrebbe essere il caso di tener conto.
Mi metto nel caso di un gioco a tre giocatori. Una allocazione è una terna $(x,y,z) \in RR^3$. Essa rappresenta una potenziale distribuzione dei payoff se $x+y+z = v(N)$ (per via della superadditività, $v(N)$ rappresenta il miglior risultato acquisibile collettivamente).
Dopo di che, subentrano considerazioni che derivano dalla "forza" dei giocatori, ovvero dai payoff che sono in grado di ottenere singolarmente. Sarà difficile fare accettare una allocazione al giocatore $1$ se è $x < v(1)$.
Quindi è naturale imporre le seguenti restrizioni:
$x \ge v(1)$
$y \ge v(2)$
$z \ge v(3)$
Ma, a questo punto, è semplice generalizzare e osservare che la coalizione $S = {1,2}$ non sarebbe molto contenta di ricevere complessivamente un payoff pari a $x+y$ se fosse $x+y < v({1,2})$. Da qui le ulteriori condizioni:
$x+y \ge v({1,2})$
$x+z \ge v({1,3})$
$y+z \ge v({2,3})$
Insomma, il nucleo individua un insieme di allocazioni che soddisfano condizioni ragionevoli. Si può dire tranquillamente che una allocazione che non appartenga al nucleo rappresenta una proposta di "spartizione" di $v(N)$ che è esposta a rischi di instabilità.
La idea di nucleo è molto semplice. Per certi versi, fin troppo semplice, nel senso che trascura aspetti di cui potrebbe essere il caso di tener conto.
Mi metto nel caso di un gioco a tre giocatori. Una allocazione è una terna $(x,y,z) \in RR^3$. Essa rappresenta una potenziale distribuzione dei payoff se $x+y+z = v(N)$ (per via della superadditività, $v(N)$ rappresenta il miglior risultato acquisibile collettivamente).
Dopo di che, subentrano considerazioni che derivano dalla "forza" dei giocatori, ovvero dai payoff che sono in grado di ottenere singolarmente. Sarà difficile fare accettare una allocazione al giocatore $1$ se è $x < v(1)$.
Quindi è naturale imporre le seguenti restrizioni:
$x \ge v(1)$
$y \ge v(2)$
$z \ge v(3)$
Ma, a questo punto, è semplice generalizzare e osservare che la coalizione $S = {1,2}$ non sarebbe molto contenta di ricevere complessivamente un payoff pari a $x+y$ se fosse $x+y < v({1,2})$. Da qui le ulteriori condizioni:
$x+y \ge v({1,2})$
$x+z \ge v({1,3})$
$y+z \ge v({2,3})$
Insomma, il nucleo individua un insieme di allocazioni che soddisfano condizioni ragionevoli. Si può dire tranquillamente che una allocazione che non appartenga al nucleo rappresenta una proposta di "spartizione" di $v(N)$ che è esposta a rischi di instabilità.
Non mi è chiara l'equazione iniziale con R al cubo. Riusciresti a propormi un facile esempio? Perchè non ho molto tempo per esporre, e un esempio ben ideato vale più di mille spiegazioni. Stesso discorso per il valore di Shapley. Grazie mille
"GiacomoRomanini90":
Non mi è chiara l'equazione iniziale con R al cubo. Riusciresti a propormi un facile esempio? Perchè non ho molto tempo per esporre, e un esempio ben ideato vale più di mille spiegazioni. Stesso discorso per il valore di Shapley. Grazie mille
Dato che nel mio discorso i giocatori sono tre, una allocazione è individuata nel momento in cui hai detto cosa pensi di dae al giocatore 1, al giocatore 2 e al giocatore 3.
$(x,y,z)$ è un modo sintetico di esprimere che dai $x$ al giocatore 1, $y$ al giocatore 2, $z$ al giocatore 3.
Come un punto del piano cartesiano è $(x,y) \in RR^2$, allo stesso modo un punto nello spazio cartesiano è $(x,y,z) \in RR^3$
Come esempi, te ne suggerisco due:
- il gioco di maggioranza, che è descritto nel mini-corso. E' interessante perché nessuna allocazione appartiene al nucleo (ovvero, il nucleo è vuoto)
- il "gioco dei guanti", nella versione a soli 3 giocatori: due giocatori possiedono un guanto destro ciascuno e uno possiede un guanto sinistro. Solo le paia di guanti hanno valore e valgono 1.
Allora il gioco è (suppongo che siano i giocatori 1 e 2 a possedere un guanto destro):
V({1})=0, V({2})=0, V({3})=0;
V({1,2})=0, V({1,3})=1, V({2,3})=1;
V({1,2,3})=1.
Lascio a te dimostrare che il nucleo contiene la sola allocazione $(0,0,1)$.
Grazie!
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