Teoria dei giochi
Ho un problema con la soluzione di un esercizio Bayesiano...ho due matrici 2 x 2 dove il giocatore riga non conosce quale matrice si verifichera e devo trovare tutti gli equilibri ...
Per quelli in stragegie pure non ci sono problemi ma per quelli in strategie miste ho un dubbio... Preciso che la seconda matrice ha un unico NE ricavabile tramite eliminazione iterata di strategie dominate. Il mi dubbio è quando verifico l'esistenza di equilibri in strategie miste devo ipotizzare che il giocatore colonna giochi una stregia mista solo nella matrice che ha due equilibri o devo ricavare la forma strategica dell'intero gioco con strategie per il giocatore colonna aa,ab,ba,bb e poi ricavare le possibili strategie miste???
se qualcuno può aiutarmi ne sarei grato
Per quelli in stragegie pure non ci sono problemi ma per quelli in strategie miste ho un dubbio... Preciso che la seconda matrice ha un unico NE ricavabile tramite eliminazione iterata di strategie dominate. Il mi dubbio è quando verifico l'esistenza di equilibri in strategie miste devo ipotizzare che il giocatore colonna giochi una stregia mista solo nella matrice che ha due equilibri o devo ricavare la forma strategica dell'intero gioco con strategie per il giocatore colonna aa,ab,ba,bb e poi ricavare le possibili strategie miste???
se qualcuno può aiutarmi ne sarei grato
Risposte
Se capisco bene la domanda, presumo che tu possa trascurare le strategie miste "per la seconda matrice".
Se però scrivessi "i numeri", magari si vede meglio.
Ecco qui sotto un "template" per scrivere una matrice in MathML:
$ ( ( I \ \\ \ II \ \vdots,L,R), (\ldots,\ldots,\ldots), (\ \ \ T \ \ \ \vdots,2 \ 1,0 \ 0), (\ \ \ B \ \ \ \vdots,0 \ 0,1 \ 2) ) $
Se però scrivessi "i numeri", magari si vede meglio.
Ecco qui sotto un "template" per scrivere una matrice in MathML:
$ ( ( I \ \\ \ II \ \vdots,L,R), (\ldots,\ldots,\ldots), (\ \ \ T \ \ \ \vdots,2 \ 1,0 \ 0), (\ \ \ B \ \ \ \vdots,0 \ 0,1 \ 2) ) $
le matrici sono
C N
P 0,1 2,0 prob 1-q
M 1,2 1,3
e
0,1 2,0 prob q
1,4 1,3
C N
P 0,1 2,0 prob 1-q
M 1,2 1,3
e
0,1 2,0 prob q
1,4 1,3
la seconda ha una satrategi dominata e un unico NE
nella seconda nn ce ne sono
il mio dubbio è se il giocatore colonna gioca una stragia mista nella prima e un unica strategi nella seconda e avrei un enb in strategie miste del tipo (x;(strategia mista;strategia pura)) o un unico equilibrio(x;strategia mista totale derivante dalla rappresentaxione strategia dell'intero gioco)
nella seconda nn ce ne sono
il mio dubbio è se il giocatore colonna gioca una stragia mista nella prima e un unica strategi nella seconda e avrei un enb in strategie miste del tipo (x;(strategia mista;strategia pura)) o un unico equilibrio(x;strategia mista totale derivante dalla rappresentaxione strategia dell'intero gioco)
La situazione è dunque questa (cambio un po' di nomi, ma i dati sono gli stessi):
$ ( ( I \ \\ \ II.1 \ \vdots,L.1,R.1), (\ldots,\ldots,\ldots), (\ \ \ T \ \ \ \vdots,0 \ 1,2 \ 0), (\ \ \ B \ \ \ \vdots,1 \ 2,1 \ 3) ) \quad \quad \ quad \quad \quad ( ( I \ \\ \ II.2 \ \vdots,L.2,R.2), (\ldots,\ldots,\ldots), (\ \ \ T \ \ \ \vdots,0 \ 1,2 \ 0), (\ \ \ B \ \ \ \vdots,1 \ 4,1 \ 3) ) $
La probabilità che il tipo di $II$ sia $II.1$ è $s$.
Allora, se: $I$ gioca (la stategia mista individuata da) $p$, $II.1$ gioca $q.1$ e $II.2$ gioca $q.1$, i payoff attesi sono:
- per $I$:
(EQ I)
$0 \cdot p \cdot q.1 \cdot s + 2 \cdot p \cdot (1-q.1) \cdot s + 1 \cdot (1-p) \cdot q.1 \cdot s + 1 \cdot (1-p) \cdot (1-q.1) \cdot s \ + \ 0 \cdot p \cdot q.1 \cdot (1-s) + 2 \cdot p \cdot (1-q.1) \cdot (1-s) + 1 \cdot (1-p) \cdot q.1 \cdot (1-s) + 1 \cdot (1-p) \cdot (1-q.1) \cdot (1-s)$
- per $II.1$:
(EQ II.1)
$1 \cdot p \cdot q.1 \cdot s + 0 \cdot p \cdot (1-q.1) \cdot s + 2 \cdot (1-p) \cdot q.1 \cdot s + 3 \cdot (1-p) \cdot (1-q.1) \cdot s$
- per $II.2$:
(EQ II.2)
$1 \cdot p \cdot q.2 \cdot (1-s) + 0 \cdot p \cdot (1-q.2) \cdot (1-s) + 4 \cdot (1-p) \cdot q.2 \cdot (1-s) + 3 \cdot (1-p) \cdot (1-q.2) \cdot (1-s)$
Allora, essendo $L.2$ fortemente(*) dominate, in equilibrio $II.1$ userà $q.2 = 1$.
Se sostituiamo $1$ a $q.2$, e se teniamo conto che $s$ è un dato del problema, ci accorgiamo che il problema dato si riduce a risolvere il solito problemino per trovare equilibri in un gioco 2x2 (ci restano di fatto solo (EQ I) e (EQ II.1)).
(*) terminologia di D(R)I...
$ ( ( I \ \\ \ II.1 \ \vdots,L.1,R.1), (\ldots,\ldots,\ldots), (\ \ \ T \ \ \ \vdots,0 \ 1,2 \ 0), (\ \ \ B \ \ \ \vdots,1 \ 2,1 \ 3) ) \quad \quad \ quad \quad \quad ( ( I \ \\ \ II.2 \ \vdots,L.2,R.2), (\ldots,\ldots,\ldots), (\ \ \ T \ \ \ \vdots,0 \ 1,2 \ 0), (\ \ \ B \ \ \ \vdots,1 \ 4,1 \ 3) ) $
La probabilità che il tipo di $II$ sia $II.1$ è $s$.
Allora, se: $I$ gioca (la stategia mista individuata da) $p$, $II.1$ gioca $q.1$ e $II.2$ gioca $q.1$, i payoff attesi sono:
- per $I$:
(EQ I)
$0 \cdot p \cdot q.1 \cdot s + 2 \cdot p \cdot (1-q.1) \cdot s + 1 \cdot (1-p) \cdot q.1 \cdot s + 1 \cdot (1-p) \cdot (1-q.1) \cdot s \ + \ 0 \cdot p \cdot q.1 \cdot (1-s) + 2 \cdot p \cdot (1-q.1) \cdot (1-s) + 1 \cdot (1-p) \cdot q.1 \cdot (1-s) + 1 \cdot (1-p) \cdot (1-q.1) \cdot (1-s)$
- per $II.1$:
(EQ II.1)
$1 \cdot p \cdot q.1 \cdot s + 0 \cdot p \cdot (1-q.1) \cdot s + 2 \cdot (1-p) \cdot q.1 \cdot s + 3 \cdot (1-p) \cdot (1-q.1) \cdot s$
- per $II.2$:
(EQ II.2)
$1 \cdot p \cdot q.2 \cdot (1-s) + 0 \cdot p \cdot (1-q.2) \cdot (1-s) + 4 \cdot (1-p) \cdot q.2 \cdot (1-s) + 3 \cdot (1-p) \cdot (1-q.2) \cdot (1-s)$
Allora, essendo $L.2$ fortemente(*) dominate, in equilibrio $II.1$ userà $q.2 = 1$.
Se sostituiamo $1$ a $q.2$, e se teniamo conto che $s$ è un dato del problema, ci accorgiamo che il problema dato si riduce a risolvere il solito problemino per trovare equilibri in un gioco 2x2 (ci restano di fatto solo (EQ I) e (EQ II.1)).
(*) terminologia di D(R)I...
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