Sul teorema di impossibilità di Arrow
Sia $P$ l'insieme delle funzioni o regole funzionali democratiche utilizzate per determinare le relazioni di preferenza collettiva.
Ora la mia domanda è questa: $P$ è un insieme finito o infinito? E, in ogni caso, si dimostra che l'impossibilità vale $forall p in P$?
Mi spiego. A seconda del testo di riferimento, dopo che vengono spiegati gli assiomi in ordine alla relazione totale, relazione transitiva, regola democratica per determinare l'ordine collettivo, unanimità e indipendenza, vengono sempre fatti degli esempi e viene di volta in volta dimostrato che in ognuno di questi esempi $p$ non verifica l'assioma di indipendenza o quello di transitività.
Alcuni testi si limitano alla regola maggioritaria (che conduce al paradosso di Condorcet), altri alla regola maggioritaria con pesi (che non verifica l'assioma di indipendenza), altri ancora aggiungono turni. Ma non trovo mai un passaggio in cui si affermi che ogni regola democratica possibile conduca ad una impossibilità.
Mi fa una gran differenza tra pensare "che non esistono altre regole democratiche" e leggere "si dimostra che non esistono altre regole democratiche"...
Ora la mia domanda è questa: $P$ è un insieme finito o infinito? E, in ogni caso, si dimostra che l'impossibilità vale $forall p in P$?
Mi spiego. A seconda del testo di riferimento, dopo che vengono spiegati gli assiomi in ordine alla relazione totale, relazione transitiva, regola democratica per determinare l'ordine collettivo, unanimità e indipendenza, vengono sempre fatti degli esempi e viene di volta in volta dimostrato che in ognuno di questi esempi $p$ non verifica l'assioma di indipendenza o quello di transitività.
Alcuni testi si limitano alla regola maggioritaria (che conduce al paradosso di Condorcet), altri alla regola maggioritaria con pesi (che non verifica l'assioma di indipendenza), altri ancora aggiungono turni. Ma non trovo mai un passaggio in cui si affermi che ogni regola democratica possibile conduca ad una impossibilità.
Mi fa una gran differenza tra pensare "che non esistono altre regole democratiche" e leggere "si dimostra che non esistono altre regole democratiche"...
Risposte
In realtà ho trovato questo
http://staff.matapp.unimib.it/~ferrario/var/ar.pdf
che risponde esattamente al mio dubbio.
Ora, però, non avendo basi di topologia, non capisco bene cosa significhi (pag.9) che "...questo si può concludere applicando alcune tecniche elementari di topologia. L’idea fondamentale è la seguente: non è possibile deformare con continuità un disco per trasformarlo in un anello. Per poterlo fare è necessario bucarlo, tagliarlo oppure romperlo..."
Ecco, forse è meglio se mi accontento così. Complicato approfondire secondo voi?
http://staff.matapp.unimib.it/~ferrario/var/ar.pdf
che risponde esattamente al mio dubbio.
Ora, però, non avendo basi di topologia, non capisco bene cosa significhi (pag.9) che "...questo si può concludere applicando alcune tecniche elementari di topologia. L’idea fondamentale è la seguente: non è possibile deformare con continuità un disco per trasformarlo in un anello. Per poterlo fare è necessario bucarlo, tagliarlo oppure romperlo..."
Ecco, forse è meglio se mi accontento così. Complicato approfondire secondo voi?
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