Ricerca del Tasso interno di un'operazione finanziaria

[iooo3]

Salve a tutti, oggi mi sono ritrovato davanti a questo esercizo,
Data l'operazione finanziaria O con vettore importi (-100,55,60) e vettore scadenze (0,2,4) (salto alcuni punti che non servono)
trova il tasso interno esatto di O.

Io ho impostato questa equazione qui con u=(1+i)

con -100*u^4+55*u^2 + 60*u^0 =0 ed ho trovato come soluzioni u1= 1,096964111 e u2= -0,546964111 e ricavando i due interessi che azzerano l'equazione ottengo i1=0,096964111 e i2= -1,546964111 (essendo un investimento puro dovrei accettarne solo uno)
il fatto è che la soluzione è i= 0,0473605

cè qualcuno che puo' aiutarmi???? mi potreste ridire la regola generale per trovare il tasso interno di un 'operazione finanziaria???? (perchè in un es che ho trovato non trova il tasso impostando l'equazione come ho fatto io, ma ne imposta un'altra ,prendendo sempre il sopracitato esempio, imposta questa formula -100+55*u^-2+60*u^-4)


Grazie in anticipo a tutti coloro che mi daranno una mano.

[fede.unive]

Ciao iooo,
a prima vista mi sembra che tu non abbia fatto errori concettuali. Ad ogni modo io averei risolto il problema con la seconda equazione da te proposta, ossia:

$-100 +55*(1+TIR)^{-2}+60*(1+TIR)^{-4}=0$

la quale ha come soluzioni reali:

$TIR_1=-2.047360543~~-204.74$% $ $ $text{non accettabile}$
$TIR_2=0.04736054495~~4.74$% $ $ $text{ accettabile}$

L'errore che hai fatto tu è di calcolo. Infatti vorrei farti notare come l'equazione che ho scritto io sia equivalente alla tua, infatti:

$-100 +55*(1+TIR)^{-2}+60*(1+TIR)^{-4}=0$ $ $ $ $ $ $ /$*(1+TIR)^4$
$-100 *(1+TIR)^4 +55*(1+TIR)^{-2}*(1+TIR)^4+60*(1+TIR)^{-4}*(1+TIR)^4=0$
$-100 *(1+TIR)^4 +55*(1+TIR)^{-2+4}+60*(1+TIR)^{-4+4}=0$
$-100 *(1+TIR)^4 +55*(1+TIR)^2+60*(1+TIR)^0=0$
$-100 *(1+TIR)^4 +55*(1+TIR)^2+60=0$

Quindi risolvere una o l'altra è assolutamente equivalente. Ti è chiaro? Come hai svolto l'equazione? A mano o con un risolutore (derive, matlab, ecc...)?

[iooo3]

l'ho svolta a mano, e ho notato adesso l'errore, dovevo fare la radice della soluzione accettabile visto che dall'equazione che ho risolto io ottengo u^2 e non u, che stupido !! XD

[anonymous_c5d2a1]

"fede.unive":Ciao iooo,
a prima vista mi sembra che tu non abbia fatto errori concettuali. Ad ogni modo io averei risolto il problema con la seconda equazione da te proposta, ossia:

$-100 +55*(1+TIR)^{-2}+60*(1+TIR)^{-4}=0$

la quale ha come soluzioni reali:

$TIR_1=-2.047360543~~-204.74$% $ $ $text{non accettabile}$
$TIR_2=0.04736054495~~4.74$% $ $ $text{ accettabile}$

L'errore che hai fatto tu è di calcolo. Infatti vorrei farti notare come l'equazione che ho scritto io sia equivalente alla tua, infatti:

$-100 +55*(1+TIR)^{-2}+60*(1+TIR)^{-4}=0$ $ $ $ $ $ $ /$*(1+TIR)^4$
$-100 *(1+TIR)^4 +55*(1+TIR)^{-2}*(1+TIR)^4+60*(1+TIR)^{-4}*(1+TIR)^4=0$
$-100 *(1+TIR)^4 +55*(1+TIR)^{-2+4}+60*(1+TIR)^{-4+4}=0$
$-100 *(1+TIR)^4 +55*(1+TIR)^2+60*(1+TIR)^0=0$
$-100 *(1+TIR)^4 +55*(1+TIR)^2+60=0$

Quindi risolvere una o l'altra è assolutamente equivalente. Ti è chiaro? Come hai svolto l'equazione? A mano o con un risolutore (derive, matlab, ecc...)?

Solitamente in matematica finanziaria per risolvere il calcolo del Tir si utilizza il metodo di Newton.

[iooo3]

scusami fede.unive, potresti spiegarmi un 'altra cosa quando io voglio utilizzare il metodo della secante o della tangente per trovare il tasso interno come trovo i limiti delle soluzioni??? mi spiego meglio con un esempio

SE ho O con importi (0,-200,165,30) e scadenze (0,1,2,4) come faccio a dire (come cè scritto nella soluzione ) che la soluzione (cioè il tasso interno) sta tra 0 e -1/10 PER IL METODO DELLA SECANTE

e PER IL METODO DELLA TANGENTE la soluzione sta tra 0 e 1 ????????

(dopo che ho capito come trovo questi limiti posso tranquillamente applicare le due formule
-metodo secante ----> x(h+1) = a-(f(0)(xh-a))/(f(xh)-f(0))
-metodo tangente ----> x(h+1)= xh-(f(xh))/(f ' (xh))

in sostanza devo trovare xh e a iniziali senno non posso iniziare ad applicare la formula. (con f che è la funzione del tasso interno)

[fede.unive]

"anonymous_c5d2a1": Solitamente in matematica finanziaria per risolvere il calcolo del Tir si utilizza il metodo di Newton.

Dipende dai casi. Sicuramente si usa per i casi più complessi. L'esercizio che iooo ha proposto si può risolvere facilmente riconducendo l'equazione

$-100*u^4+55*u^2 + 60 =0$

ad un'equazione di secondo grado (equazioni biquadratiche) ponendo $u^2=t$. Quindi:

$-100*t^2+55*t + 60 =0$

e poi rieffettuando le sostituzioni.

Per la cronaca esistono forme risolutive esatta fino alle equazioni di quarto grado...è che pochi lo sanno (e che conoscono le formule risolutive).

[fede.unive]

"iooo":scusami fede.unive, potresti spiegarmi un 'altra cosa quando io voglio utilizzare il metodo della secante o della tangente per trovare il tasso interno come trovo i limiti delle soluzioni??? mi spiego meglio con un esempio

SE ho O con importi (0,-200,165,30) e scadenze (0,1,2,4) come faccio a dire (come cè scritto nella soluzione ) che la soluzione (cioè il tasso interno) sta tra 0 e -1/10 PER IL METODO DELLA SECANTE

e PER IL METODO DELLA TANGENTE la soluzione sta tra 0 e 1 ????????

(dopo che ho capito come trovo questi limiti posso tranquillamente applicare le due formule
-metodo secante ----> x(h+1) = a-(f(0)(xh-a))/(f(xh)-f(0))
-metodo tangente ----> x(h+1)= xh-(f(xh))/(f ' (xh))

in sostanza devo trovare xh e a iniziali senno non posso iniziare ad applicare la formula. (con f che è la funzione del tasso interno)

Come prima cosa ti consiglio di scrivere le formule in blu (come faccio io). Si fa difficoltà a leggere (e poi i capi se la prendono). Le riscrivo (cambiando un po' la notazione). Quello che tu chiami metodo secante sarebbe più opportuno definirlo metodo delle corde (o metodo della secanti con estremo fisso).
Dato un compatto $[a,b]$, sia $f$ $ in$ $C^2$ ($[a,b]$) la funzione di cui vuoi trovare lo zero. Se questa cambia segno agli estremi dell'intervallo, ossia $(f(a)*f(b)<0)$, allora il metodo delle corde dice che:

$x_{n+1}=x_n-f(x_n)*{a-x_n}/{f(a)-f(x_n)}$

mentre quello delle secanti (o di Newton):

$x_{n+1}=x_n-f(x_n)/{f'(x_n)}$

Direi che la prima cosa da fare, per applicare il metodo delle corde, è quello di fissare l'estremo inferiore dell'intervallo ($a$). Dal momento che stai cercando un $TIR$ io lo fisserei pari ad $a=1$ (dopo capirai il perché). Per il metodo dell tangenti non serve. In ogni caso hai bisogno di un punto da cui cominciare ad applicare la formula $x_0$. La scelta di questo punto, a parte essere compreso in $(a,b)$, è abbastanza arbitraria.

Ci tengo a sottolineare che l'esercizio che proponi è abbastanza aberrante (ma dubito sia colpa tua...). Ti spiego il perché. Proviamo a scrivere l'equazione per calcolare il $TIR$.

$0-200*(1+TIR)^{-1}+165*(1+TIR)^{-2}+30*(1+TIR)^{-4}=0$

Sostituendo $1+TIR=x$, ottieni:

$-200*x^{-1}+165*x^{-2}+30*x^{-4}=0$
$-200/x+165/x^2+30/x^4=0$ $ $ $ $ /$*x^4$
$-200*x^3+165*x^2+30=0$

Quest'ultima diventa la nostra $f(x)$.

Dunque poiché dovrebbe essere $TIR>=0$ $$ $rarr$ $$ $1+TIR>=1$ $$ $rarr$ $$ $x>=1$ quindi il nostro estremo inferiore dell'intervallo è $a=1$. Scegliamo come punto di partenza un valore vicino ad $a$, ad esempio $x_0=1.1$
Ora dobbiamo calcolare:

$f(a)=-200*1^3+165*1^2+30=-5$
$f(x_0)=-200*1.1^3+165*1.1^2+30=-731/20=-36.55$

Quindi:

$x_1=x_0-f(x_0)*{a-x_0}/{f(a)-f(x_0)}=1.1+731/20*{1.1-1}/{-5-(-731/20)}= 3836/3155~~1.215847860$

Ora controlliamo $f(x_1)$. Se questo è vicino a zero, vuol dire che siamo vicini alla soluzione.

$f(x_1)=-200*(3836/3155)^3+165*(3836/3155)^2+30=-21495302078/251239591~~-85.55698563$

Quindi siamo passati da $-36.55$ a $-85.56$. QUindi il valore della nostra funzione, che vogliamo annullare è peggiorato! Questo significa che ci stiamo "muovendo" nella direzione sbagliata. Cio implica che dovremmo (ri)scegliere un $x_0$ più piccolo di $1$, ossia più piccolo di $a$. Ciò significa che lo zero di questa funzione non si trova a destra dell'$1$, ma alla sua sinistra.
Se si trattasse di un'equazione "e basta" non ci sarebbero problemi. Sceglieremmo un $x_0=0.9$. Tuttavia io per ipotesi ho detto che $x>=1$ in quanto il $TIR$ deve essere un numero positivo (è un tasso d'interesse). Pertanto, a mio avviso, l'operazione NON ha tasso interno di rendimento, in quanto la soluzione dell'equazione:

$-200*x^3+165*x^2+30=0$

ha come soluzione

$x~~0.9808988218$ $$ $rarr$ $$ $TIR~~-1.91$% $text{non accettabile}$

Si poteva accorgersene subito, verificando che nell'intervallo $[1,+oo)$ la funzione $f(x)$ non cambia mai segno (e quindi non ha zeri in tale intervallo).

[anonymous_c5d2a1]

Domani ti posto una piccola formula per calcolare il valore di $x_0$ per difetto e per eccesso.

[anonymous_c5d2a1]

Calcolo del valore iniziale $x_0$ per difetto: $((\sum_{j=1}^n x_j)/C)^(1/(t_n-t))-1$.

Calcolo del valore iniziale $x_0$ per eccesso: $((\sum_{j=1}^n x_j)/C)^(1/(t_1-t))-1$.