Rendimenti di scala e funzione di Cobb-Douglas
Supponiamo che i salari di un'impresa ammontino al doppio della spesa per il capitale, e che l'impresa ha una funzione di produzione Cobb-Douglas che ha rendimenti di scala costanti. Cosa si può dedurre sui parametri $alpha$ e $beta$ di questa funzione di produzione?
La risposta è $alpha=2/3$ (coefficiente associato a $L$) e $beta = 1/3$ (coefficiente associato al capitale $K$), ma non mi è chiarissimo il perché.
Spiego il mio ragionamento.
La funzione di produzione di Cobb-Douglas è del tipo $AL^(alpha)K^(beta) = F(L,K)$, e per l'ipotesi dei rendimenti costanti deve essere $alpha + beta = 1$.
Se i salari dell'impresa costano il doppio della spesa per il capitale, ipotizzando che tale combinazione di input sia quella di costo minimo per produrre $Q$ unità di capitale[nota]è un'ipotesi che faccio io, ma siccome l'esercizio è tratto dal capitolo sui costi e siccome di massimizzazione dei profitti se ne parla nel capitolo dopo, immagino sia lecito farla[/nota], ho che:
$MRTS_(LK) = alpha/beta * K/L = W/K => alpha/beta * K/L = (2K)/K => 1/2(alpha/beta) = L/K$, cioè il rapporto tra $alpha$ e $beta$ è il doppio del rapporto tra lavoro e capitale.
In tutto questo però non ho capito come si faccia a dedurre che $alpha = 2/3$ e $beta = 1/3$, se me lo spiegaste vi ringrazio.
La risposta è $alpha=2/3$ (coefficiente associato a $L$) e $beta = 1/3$ (coefficiente associato al capitale $K$), ma non mi è chiarissimo il perché.
Spiego il mio ragionamento.
La funzione di produzione di Cobb-Douglas è del tipo $AL^(alpha)K^(beta) = F(L,K)$, e per l'ipotesi dei rendimenti costanti deve essere $alpha + beta = 1$.
Se i salari dell'impresa costano il doppio della spesa per il capitale, ipotizzando che tale combinazione di input sia quella di costo minimo per produrre $Q$ unità di capitale[nota]è un'ipotesi che faccio io, ma siccome l'esercizio è tratto dal capitolo sui costi e siccome di massimizzazione dei profitti se ne parla nel capitolo dopo, immagino sia lecito farla[/nota], ho che:
$MRTS_(LK) = alpha/beta * K/L = W/K => alpha/beta * K/L = (2K)/K => 1/2(alpha/beta) = L/K$, cioè il rapporto tra $alpha$ e $beta$ è il doppio del rapporto tra lavoro e capitale.
In tutto questo però non ho capito come si faccia a dedurre che $alpha = 2/3$ e $beta = 1/3$, se me lo spiegaste vi ringrazio.
Risposte
Ah forse ho capito: se ha rendimenti costanti vuol dire che raddoppiando insieme gli input raddoppia anche l'output, e quindi il rapporto fra $L$ e $K$ è sempre $1$. Però è $1$ rispetto all'output, ad esempio se $Q = AL^(alpha)K^(beta)$, $2Q = A(2L)^(alpha)(2K)^(beta)$, in questo senso il rapporto tra $L$ e $K$ è 1, non so se vada inteso così.
Per i coefficienti di scala costanti per definizione $\alpha+\beta=1$, e vabbe'.
Per il resto, probabilmente si riferisce al fatto che se il salario è uguale alla produttività marginale del lavoro e la remunerazione del capitale è uguale alla produttività marginale del capitale, gli esponenti della Cobb Douglas hanno un preciso significato economico, sono le share di capitale e lavoro del prodotto totale, cioè le quote
${wL}/Q=\alpha$ e ${rK}/Q=\beta$, dove $r$ è il rendimento del capitale.
Ma bisogna dimostrarlo, non so se lo avete fatto.
Ci sta anche nella voce di Wikipedia:
https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_ ... bb-Douglas
Insomma, l'esercizio ti sta dicendo che $\alpha+\beta=1$, e ${wL}/Q= 2{rK}/Q$ ossia $\alpha=2\beta$.
Per il resto, probabilmente si riferisce al fatto che se il salario è uguale alla produttività marginale del lavoro e la remunerazione del capitale è uguale alla produttività marginale del capitale, gli esponenti della Cobb Douglas hanno un preciso significato economico, sono le share di capitale e lavoro del prodotto totale, cioè le quote
${wL}/Q=\alpha$ e ${rK}/Q=\beta$, dove $r$ è il rendimento del capitale.
Ma bisogna dimostrarlo, non so se lo avete fatto.
Ci sta anche nella voce di Wikipedia:
https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_ ... bb-Douglas
Insomma, l'esercizio ti sta dicendo che $\alpha+\beta=1$, e ${wL}/Q= 2{rK}/Q$ ossia $\alpha=2\beta$.
Sul libro non c'è la dimostrazione. Ti lascio la spiegazione dell'autore "Inoltre, sapendo che l’impresa spende per l’input di lavoro il doppio di quanto spende per il capitale, possiamo concludere che il parametro $alpha$
(l’esponente di L) è il doppio del parametro $beta$ (l’esponente associato a K).". E' quel "possiamo concludere" che mi lascia perplesso, ma probabilmente è qualcosa che non è necessario sappia.
(l’esponente di L) è il doppio del parametro $beta$ (l’esponente associato a K).". E' quel "possiamo concludere" che mi lascia perplesso, ma probabilmente è qualcosa che non è necessario sappia.
Sinceramente io in quel 'possiamo concludere' ci vedo quello che ti ho detto, che è una cosa ben nota, ma non scontata, non è che uno 'nasce imparato'.
Poi non so se avete avuto altre spiegazioni. Forse volevano, appunto, che faceste questa dimostrazione?
Poi non so se avete avuto altre spiegazioni. Forse volevano, appunto, che faceste questa dimostrazione?
Non c'è la dimostrazione che $alpha = (wL)/Q$ e $beta = (rK)/Q$.
L'ipotesi che il salario sia uguale alla produttività marginale del lavoro e il costo del capitale sia uguale alla produttività marginale del capitale deriva da $MRTS_(LK) = (MPL)/(MPK) = w/r$, giusto? Ovviamente se si sta scegliendo la combinazione di costo minimo per produrre quella quantità di output.
Comunque nella dimostrazione di wikipedia si dice $Q=MPL * L + MPK * K$, e già questa cosa non la capisco[nota]$MPL$ ovviamente è il prodotto marginale del lavoro e $MPK$ il prodotto marginale del capitale[/nota], per questo la dimostrazione mi sembra troppo formale e non credo sia necessario la sappia. Poi tutto quello che riesco a capire lo afferro volentieri.
L'ipotesi che il salario sia uguale alla produttività marginale del lavoro e il costo del capitale sia uguale alla produttività marginale del capitale deriva da $MRTS_(LK) = (MPL)/(MPK) = w/r$, giusto? Ovviamente se si sta scegliendo la combinazione di costo minimo per produrre quella quantità di output.
Comunque nella dimostrazione di wikipedia si dice $Q=MPL * L + MPK * K$, e già questa cosa non la capisco[nota]$MPL$ ovviamente è il prodotto marginale del lavoro e $MPK$ il prodotto marginale del capitale[/nota], per questo la dimostrazione mi sembra troppo formale e non credo sia necessario la sappia. Poi tutto quello che riesco a capire lo afferro volentieri.
Sì, dipende dalla minimizzazione che fa l'impresa.
Per la Cobb Douglas, se pensi che non serve lascia stare la dimostrazione, poi ci tornerai, caso mai su un testo, Wikipedia non è sempre il massimo della chiarezza..
Per la Cobb Douglas, se pensi che non serve lascia stare la dimostrazione, poi ci tornerai, caso mai su un testo, Wikipedia non è sempre il massimo della chiarezza..
"HowardRoark":
Comunque nella dimostrazione di wikipedia si dice $Q=MPL * L + MPK * K$, e già questa cosa non la capisco
Non la capisci perché è un'applicazione del teorema di Eulero per le funzioni omogenee, che credo che non hai fatto, né credo che per l'esame devi portare le funzioni omogenee.
Se vuoi però possiamo poi, più in là quando vuoi, vedere questa dimostrazione per la Cobb Douglas qui, ma credo che ora non ti serva per l'esame.
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