Problema differenziazione e ottimizzazione.
Ciao a tutti, son nuovo del forum, troverete la mia presentazione nell'apposita sezione.
Vi scrivo per capire se qualcuno di voi ha idea di come risolvere un problema che mi assilla da tantissimo tempo.
-Ci sono due individui: A e B.
- A massimizza la funzione 1 scegliendo il livello di X
- B massimizza la funzione 2 scegliendo il livello di Y
1= Vp - X - Y(1-p)
2= Vp - Yp
Dove p è una funzione di probabilità ed è uguale a X/(X+Y)
Facendo le condizioni di primo ordine (massimizzo 1 rispetto a X, e 2 rispetto a Y) e risolvendo il sistema, dovrei riuscire a trovare i livelli ottimali di X e di Y, ma purtroppo non riesco ad ottenerli in quanto non mi viene una forma chiusa....
Qualcuno di voi potrebbe aiutarmi?
Nel caso si potrebbe anche utilizzare una funzione di probabilità differente, l'importante è che sia crescente in X e decrescente in Y, ed ovviamente compresa tra 0 e 1.
Son fiducioso che in questo forum ci sia qualcuno che riesca a darmi un consiglio su come risolvere questo problema fondamentale per il proseguimento della mia tesi.
GRAZIE MILLE
Se non avete capito qualcosa chiedetemi pure..
Vi scrivo per capire se qualcuno di voi ha idea di come risolvere un problema che mi assilla da tantissimo tempo.
-Ci sono due individui: A e B.
- A massimizza la funzione 1 scegliendo il livello di X
- B massimizza la funzione 2 scegliendo il livello di Y
1= Vp - X - Y(1-p)
2= Vp - Yp
Dove p è una funzione di probabilità ed è uguale a X/(X+Y)
Facendo le condizioni di primo ordine (massimizzo 1 rispetto a X, e 2 rispetto a Y) e risolvendo il sistema, dovrei riuscire a trovare i livelli ottimali di X e di Y, ma purtroppo non riesco ad ottenerli in quanto non mi viene una forma chiusa....
Qualcuno di voi potrebbe aiutarmi?
Nel caso si potrebbe anche utilizzare una funzione di probabilità differente, l'importante è che sia crescente in X e decrescente in Y, ed ovviamente compresa tra 0 e 1.
Son fiducioso che in questo forum ci sia qualcuno che riesca a darmi un consiglio su come risolvere questo problema fondamentale per il proseguimento della mia tesi.
GRAZIE MILLE
Se non avete capito qualcosa chiedetemi pure..
Risposte
Non sono sicuro che la sezione sia corretta: è possibile che i problemi di ottimizzazione siano sotto ricerca operativa.
Detto questo il testo lo trovo poco chiaro. Sarebbe meglio se non usassi numeri per indicare le funzioni, soprattutto se lo stesso numero è usato per definire la funzione. Dopo di che non è chiaro cosa sia \(V\). Inoltre come fa una funzione di probabilità essere uguale ad una funzione di variabili controllate da due individui (e quindi non aleatorie). Cioé se sono aleatorie allora \(A\) e \(B\) non hanno controllo su di loro, se non lo sono allora quella non è una funzione di probabilità.
Detto questo il testo lo trovo poco chiaro. Sarebbe meglio se non usassi numeri per indicare le funzioni, soprattutto se lo stesso numero è usato per definire la funzione. Dopo di che non è chiaro cosa sia \(V\). Inoltre come fa una funzione di probabilità essere uguale ad una funzione di variabili controllate da due individui (e quindi non aleatorie). Cioé se sono aleatorie allora \(A\) e \(B\) non hanno controllo su di loro, se non lo sono allora quella non è una funzione di probabilità.
Mi sembra che sia un esercizio di teoria dei giochi in condizioni di incertezza. Andrebbe, credo, postato in 'Matematica per l'economia e altre discipline'. Il testo, come dice Vict, non mi sembra chiaro, cosa è V e che vuol dire che non ti viene una forma chiusa. Prova a postare un tuo tentativo di risoluzione, così forse si capisce meglio.
Roger. Sposto.
Ho fatto un allegato per farvi capire meglio...
Aiutatemi perfavore
Posso anche dare una buona ricompensa a chi ci riesce!
Grazie
Aiutatemi perfavore
Posso anche dare una buona ricompensa a chi ci riesce!
Grazie
Ma sei sicuro che le derivate sono giuste? Ho provato a fare la seconda, $ (partial pi D)/(partial Y) $ .
$ pi D=-Vp-pY=-VX/(X+Y) -YX/(X+Y) $
$ (partialpi D)/(partial Y) =(VX)/(X+Y)^2 -(X(X+Y)-YX)/(X+Y)^2= 0 $.
Da cui semplificando:
$ VX-X^2=0 $
cioè $ X=0 $ o $ X=V $ .
Sostituisci nell'altra derivata e trovi Y.
Però controlla l'altra derivata, non mi viene uguale, ma mi posso sbagliare.
$ pi D=-Vp-pY=-VX/(X+Y) -YX/(X+Y) $
$ (partialpi D)/(partial Y) =(VX)/(X+Y)^2 -(X(X+Y)-YX)/(X+Y)^2= 0 $.
Da cui semplificando:
$ VX-X^2=0 $
cioè $ X=0 $ o $ X=V $ .
Sostituisci nell'altra derivata e trovi Y.
Però controlla l'altra derivata, non mi viene uguale, ma mi posso sbagliare.
p.s. perché eguagli le due derivate? Non le devi eguagliare, le devi porre uguali a zero e metterle a sistema.
Però attenzione alle condizioni del secondo ordine, le derivate nulle potrebbero anche dare un minimo, non un massimo, devi controllare.
penso che le mie derivte siano corrette (nella tua dimentichi delle parti facendo la chain rule)..
Mi ero espresso male, metto a sistema le due derivate, ma non riesco a trovare i valori di x e y ottimi....
Mi ero espresso male, metto a sistema le due derivate, ma non riesco a trovare i valori di x e y ottimi....
Probabilmente hai ragione, ma non riesco a vedere la chain rule di cui parli.
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