Preordine, oppure no
il Professore non si scandalizzi per quanto dirò, e se non ha il cuore forte non legga le mie divagazioni. 
Mi chiedevo quali conseguenze avrebbe la rimozione della proprietà transitiva dalla relazione di preferenza, e se ciò renderebbe non più trattabile (umanamente e) matematicamente la TdG.
La prima conseguenza in cui mi sono imbattuto è che la funzione di utilità non potrebbe più essere definita sull'insieme delle alternative possibili $X$, come $f: X->R$, ma dovrebbe esserlo sul prodotto cartesiano $XxxX$, con qualcosa come $f: X^2->R$. Sarebbe grave?
Perché questa divagazione? Semplicemente perché, laddove l'esito si esprima secondo una metrica facile (soldi, anni di carcere etc.) la transitività mi sembra ovvia, e capisco bene perché sia condizione importante per la razionalità del decisore, non mi sembra altrettanto ovvia nei casi in cui le preferenze sono guidate da altri drivers, quali il gusto, la simpatia, o in generale tutto ciò che attiene la sfera emotiva. Anche se questi drivers possono essere classificati nell'irrazionale, ciò non vuol dire, però, che il decisore non possa decidere razionalmente, guidato consapevolmente dalle sue preferenze.
Che si può dire di queste cose?
Mi chiedevo quali conseguenze avrebbe la rimozione della proprietà transitiva dalla relazione di preferenza, e se ciò renderebbe non più trattabile (umanamente e) matematicamente la TdG.
La prima conseguenza in cui mi sono imbattuto è che la funzione di utilità non potrebbe più essere definita sull'insieme delle alternative possibili $X$, come $f: X->R$, ma dovrebbe esserlo sul prodotto cartesiano $XxxX$, con qualcosa come $f: X^2->R$. Sarebbe grave?
Perché questa divagazione? Semplicemente perché, laddove l'esito si esprima secondo una metrica facile (soldi, anni di carcere etc.) la transitività mi sembra ovvia, e capisco bene perché sia condizione importante per la razionalità del decisore, non mi sembra altrettanto ovvia nei casi in cui le preferenze sono guidate da altri drivers, quali il gusto, la simpatia, o in generale tutto ciò che attiene la sfera emotiva. Anche se questi drivers possono essere classificati nell'irrazionale, ciò non vuol dire, però, che il decisore non possa decidere razionalmente, guidato consapevolmente dalle sue preferenze.
Che si può dire di queste cose?
Risposte
oggi non mi vergogno, quindi rilancio sulle precedenti divagazioni.
Se la preferenza la definissi come operazione binaria interna $p: XxxX->X$ definita come "il preferito tra...", potrei concederle facilmente la proprietà commutativa. Non ho verificato se è associativa. Però sarebbe bello inventarsi anche un elemento neutro e quindi l'inverso, per costruire un gruppo abeliano. A che pro'? Boh...però sarebbe esteticamente apprezzabile.
Fioravante abbi pazienza, ma oggi è domenica, e si può accordarle il "semel in anno licet..."
Se la preferenza la definissi come operazione binaria interna $p: XxxX->X$ definita come "il preferito tra...", potrei concederle facilmente la proprietà commutativa. Non ho verificato se è associativa. Però sarebbe bello inventarsi anche un elemento neutro e quindi l'inverso, per costruire un gruppo abeliano. A che pro'? Boh...però sarebbe esteticamente apprezzabile.
Fioravante abbi pazienza, ma oggi è domenica, e si può accordarle il "semel in anno licet..."
"kinder":
il Professore non si scandalizzi per quanto dirò, e se non ha il cuore forte non legga le mie divagazioni.
Mi scandalizzo eccome! Il "Professore", addirittura con la "P" maiuscola!!
Devo essere davvero pedante se induco a queste sconcezze
"kinder":
Mi chiedevo quali conseguenze avrebbe la rimozione della proprietà transitiva dalla relazione di preferenza, e se ciò renderebbe non più trattabile (umanamente e) matematicamente la TdG.
La prima conseguenza in cui mi sono imbattuto è che la funzione di utilità non potrebbe più essere definita sull'insieme delle alternative possibili $X$, come $f: X->R$, ma dovrebbe esserlo sul prodotto cartesiano $XxxX$, con qualcosa come $f: X^2->R$. Sarebbe grave?
Su una cosa non ci si può fare nulla. Se vogliamo rappresentare le preferenze con una funzione di utilità, ovvero con $f: X->RR$, non abbiamo scampo. Dobbiamo richiedere che le preferenze del decisore siano descritte formalmente da un preordine totale (cioè una relazione riflessiva, transitiva e totale).
Ovviamente non siamo obbligati a seguire questa strada. Tra l'altro, ci sono innumerevoli evidenze osservativo-sperimentali del fatto che la transitività è violata.
A me piace questo esempio: fra una tavoletta di cioccolato ed una tavoletta di cioccolato più una molecola di cioccolato cosa preferisci?
Uno è indifferente, visto che non è in grado di percepire la differenza. Ma possiamo allora aggiungere due, e poi tre, etc. molecole.
Alla fin fine (tanto abbiamo tempo da perdere) uno si troverà con una tavoletta percettibilmente più grande.
Et voilà, la transitività non c'è più.
Vedi sotto kinder (quotato) per altri "esempi".
E allora? I ricercatori che si occupano di questa roba sono sordi e ciechi?
No, devono fare un bilanciamento fra semplicità della teoria (del modello) e i suoi riscontri nel mondo vero.
E, per ora, vince la semplicità.
Non che non ci siano in giro modelli alternativi. Penso anche che in certi contesti siano usati (non ho riscontri specifici, ma non vedo perché non dovrebbe succedere). Ma volete mettere un accendino piezoelettrico rispetto alla pietra focaia? Anche se il mio a casa non funge da anni, non mi sono ancora rassegnato a prendermi un acciarino (anche perché il soldato, protagonista della favola, è un antipatico bestiale).
"kinder":
Perché questa divagazione? Semplicemente perché, laddove l'esito si esprima secondo una metrica facile (soldi, anni di carcere etc.) la transitività mi sembra ovvia, e capisco bene perché sia condizione importante per la razionalità del decisore, non mi sembra altrettanto ovvia nei casi in cui le preferenze sono guidate da altri drivers, quali il gusto, la simpatia, o in generale tutto ciò che attiene la sfera emotiva. Anche se questi drivers possono essere classificati nell'irrazionale, ciò non vuol dire, però, che il decisore non possa decidere razionalmente, guidato consapevolmente dalle sue preferenze.
Che si può dire di queste cose?
Assolutamente d'accordo.
La teoria delle decisioni non va a vedere da dove vengano le preferenze. Né le classifica in accettabili o non.
Per cui vi sono certamente questi problemi che hai descritto (oltre alla cioccolata).
Semmai, si può dire che la teoria delle decisioni si applica preferibilmente alle decisioni "meditate". E questo ha un effetto di calmieramento sulla violazione della transitività.
"Fioravante Patrone":
Su una cosa non ci si può fare nulla. Se vogliamo rappresentare le preferenze con una funzione di utilità, ovvero con $f: X->RR$, non abbiamo scampo. Dobbiamo richiedere che le preferenze del decisore siano descritte formalmente da un preordine totale (cioè una relazione riflessiva, transitiva e totale).
Tutto OK quello che dici; però mi viene da obiettare che la richiesta di rappresentare le preferenze tramite una funzione di utilità del tipo $f: X->RR$ ad un ingegnere rozzo come me sembra solo un modo diverso di dire che la relazione costituisca un preordine totale (un mio professore l'avrebbe qualificata pleonastica). Sono arrivato a questa conclusione non appena ho visto che rimuovendo la transitività si perde la f come definita, cioè in grado di esprimere un'utilità "assoluta", mentre diversamente si dovrebbe introdurre un concetto di utilità "relativa", esprimibile solo nel confronto tra due esiti (è per questo che ipotizzavo l'uso di una $f: XxxX->RR$).
Per quanto riguarda il pragmatismo favorevole alla soluzione abbordabile, beh...con un ingegnere apri una porta mooolto aperta
scusa se mi aggiusto un po' il "quote", per comodità di replica
la differenza fra un ingegnere e un matematico è tutta qui
un ingegnere è così rozzo che neanche capisce se e cosa ci sia da dim e quindi considera la dim pleonastica
i matematici invece, che menti fini!
naturalmente parlo in termini generali
quanto sopra non vale (per definizione) per gli ingegneri che frequentano questo forum
bene, esaurita questa premessa inutile, veniamo al nocciolo, come disse il verme
Sia $X$ un insieme. Perché una relazione $\rho$ su $X$ possa essere rappresentabile mediante una funzione $f:X \to RR$, nel senso che si abbia:
$x \rho y$ se e solo se $f(x) \ge f(y)$,
è necessario che $\rho$ sia un preordine totale (dim facile)
Però questa condizione non è sufficiente. Lo è se $X$ è un insieme finito o numerabile.
Se invece $X$ è, ad esempio, $RR$ o $RR^2$, non è detto.
Anzi, abbiamo esempi di preordini totali di cui sappiamo con certezza che non sono rappresentabili mediante un $f$ a valori reali.
Di questi, il più noto è l'ordine lessicografico (vedi: https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 073#179073 dove TomSawyer osserva giustamente che si tratta addirittura di un ordine totale).
Su i libri di riferimento di teoria delle decisioni (Fishburn) sono riportate le condizioni necessarie e sufficienti affinché un preordine totale sia rappresentabile mediante una funzione a valori reali. Se abbiamo un ordine totale, CNS è che esista un sottoinsieme di $X$ numerabile e "order dense". Per i preordini totali ci si aggiusta passando al quoziente.
this is a slippery slope...
io userei con mooolta cautela i termini utilità "assoluta" e "relativa", per ragioni che hanno a che fare con questo: dato un preordine totale, se questo è rappresentabile con una funzione a valori reali, questa non è univocamente determinata. Detto altrimenti, ce ne sono tante, di funzioni che rappresentano un preordine totale, se ce n'è una.
Per questo motivo, eviterei il ricorso a un termine quale "assoluto" che ha tutt'altra connotazione.
A parte queste considerazioni da "il nome della rosa", nessun problema a seguire strade alternative rispetto a quella "standard". Come dicevo, c'è solo da chiedersi se il gioco vale la candela.
Ma, prima di mettersi a provare strade nuove, può convenire dare un'occhiata alle "annotated references" di Peter Wakker. Sono in un documento word di sole 1076 pagine:
http://people.few.eur.nl/wakker/refs/webrfrncs.doc
A conferma del fatto che il genio è 99% traspirazione e solo 1% ispirazione
"kinder":
Tutto OK quello che dici; però mi viene da obiettare che la richiesta di rappresentare le preferenze tramite una funzione di utilità del tipo $f: X->RR$ ad un ingegnere rozzo come me sembra solo un modo diverso di dire che la relazione costituisca un preordine totale (un mio professore l'avrebbe qualificata pleonastica).
...
Per quanto riguarda il pragmatismo favorevole alla soluzione abbordabile, beh...con un ingegnere apri una porta mooolto aperta
la differenza fra un ingegnere e un matematico è tutta qui
un ingegnere è così rozzo che neanche capisce se e cosa ci sia da dim e quindi considera la dim pleonastica
i matematici invece, che menti fini!
naturalmente parlo in termini generali
quanto sopra non vale (per definizione) per gli ingegneri che frequentano questo forum
bene, esaurita questa premessa inutile, veniamo al nocciolo, come disse il verme
Sia $X$ un insieme. Perché una relazione $\rho$ su $X$ possa essere rappresentabile mediante una funzione $f:X \to RR$, nel senso che si abbia:
$x \rho y$ se e solo se $f(x) \ge f(y)$,
è necessario che $\rho$ sia un preordine totale (dim facile)
Però questa condizione non è sufficiente. Lo è se $X$ è un insieme finito o numerabile.
Se invece $X$ è, ad esempio, $RR$ o $RR^2$, non è detto.
Anzi, abbiamo esempi di preordini totali di cui sappiamo con certezza che non sono rappresentabili mediante un $f$ a valori reali.
Di questi, il più noto è l'ordine lessicografico (vedi: https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 073#179073 dove TomSawyer osserva giustamente che si tratta addirittura di un ordine totale).
Su i libri di riferimento di teoria delle decisioni (Fishburn) sono riportate le condizioni necessarie e sufficienti affinché un preordine totale sia rappresentabile mediante una funzione a valori reali. Se abbiamo un ordine totale, CNS è che esista un sottoinsieme di $X$ numerabile e "order dense". Per i preordini totali ci si aggiusta passando al quoziente.
"kinder":
Sono arrivato a questa conclusione non appena ho visto che rimuovendo la transitività si perde la f come definita, cioè in grado di esprimere un'utilità "assoluta", mentre diversamente si dovrebbe introdurre un concetto di utilità "relativa", esprimibile solo nel confronto tra due esiti (è per questo che ipotizzavo l'uso di una $f: XxxX->RR$).
this is a slippery slope...
io userei con mooolta cautela i termini utilità "assoluta" e "relativa", per ragioni che hanno a che fare con questo: dato un preordine totale, se questo è rappresentabile con una funzione a valori reali, questa non è univocamente determinata. Detto altrimenti, ce ne sono tante, di funzioni che rappresentano un preordine totale, se ce n'è una.
Per questo motivo, eviterei il ricorso a un termine quale "assoluto" che ha tutt'altra connotazione.
A parte queste considerazioni da "il nome della rosa", nessun problema a seguire strade alternative rispetto a quella "standard". Come dicevo, c'è solo da chiedersi se il gioco vale la candela.
Ma, prima di mettersi a provare strade nuove, può convenire dare un'occhiata alle "annotated references" di Peter Wakker. Sono in un documento word di sole 1076 pagine:
http://people.few.eur.nl/wakker/refs/webrfrncs.doc
A conferma del fatto che il genio è 99% traspirazione e solo 1% ispirazione
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