Piano di ammortamento
ciao non so come svolgere questo esercizio sulla rendita: un debito di 30000 di estingue con rate costanti semestrali. La prima rata si versa tra un anno, il debito è estinto in 5 anni. Il TAN è 10%. Calcolare la rata e stilare il piano di ammortamento.
Come prima cosa calcolo il tasso semestrale che è del 5%. Per calcolare la rata si utilizza la formula S/1-(1+i)^-n/i oppure quello per la rata anticipata. quale devo usare?? secondo il mio ragionamento viene così= 30000/1-(1.05)^-5/0.05 giusto ? poi per fare il piano come mi comporto se devo versare la prima rata tra 1 anno???
alla prima riga 0 ho tutti 0 e il debito residuo è s ?? e poi come si procede per l'anno successivo ?? come si fa normalmente con gli altri piani??
Come prima cosa calcolo il tasso semestrale che è del 5%. Per calcolare la rata si utilizza la formula S/1-(1+i)^-n/i oppure quello per la rata anticipata. quale devo usare?? secondo il mio ragionamento viene così= 30000/1-(1.05)^-5/0.05 giusto ? poi per fare il piano come mi comporto se devo versare la prima rata tra 1 anno???
alla prima riga 0 ho tutti 0 e il debito residuo è s ?? e poi come si procede per l'anno successivo ?? come si fa normalmente con gli altri piani??
Risposte
Ciao. Allora l'esercizio non è difficile, ma per risolverlo agevolmente bisogna farsi furbi. L'unica difficoltà è che il mutuo ha rate semestrali, ma inizi a rimborsare tra un anno (e non tra sei mesi, cosa che ti avrebbe consentito di usare le formule e basta, senza pensare troppo). Per capire bene quello che sto dicendo, fai il diagramma importi-epoche, altrimenti non capirai. Le epoche che ci importano sono:
$t_0=0$ $ $ epoca di stipula del mutuo
$t_1=1$ $ $ pagamento prima rata
$t_2=1.5$ $ $ pagamento seconda rata
$t_3=2$ $ $ pagamento terza rata
$t_4=2.5$ $ $ pagamento quarta rata
$t_5=3$ $ $ pagamento quinta rata
$t_6=3.5$ $ $ pagamento sesta rata
$t_7=4$ $ $ pagamento settima rata
$t_8=4.5$ $ $ pagamento ottava rata
$t_9=5$ $ $ pagamento nona rata
$t_10=5.5$ $ $ pagamento decima rata
$t_11=6$ $ $ pagamento undicesima rata
Ora per poter utilizzare le formule che semplificano tutto, per la proprietà della scindibilità finanziaria, l'unico modo è porre come istante di valutazione il primo anno di pagamento (quindi si ha $t_0 = 0 rarr t_0=1$) e traslando in avanti tutte le epoche. Così puoi applicare correttamente la formula dell'ammortamento francese con rate anticipate.
Quindi contrarre un debito $D^{-} =30000$ in $t_0 = 0$ è equilente, da un punto di vista finanziario, a contrarre il seguente debito in $t_0 = 1$:
$D=D^{-} *(1+i)^1=30000*(1+0.1)=33000$
Nota che si tratta solo di un "escamotage" per usare le formule dell'ammortamento francese a rate anticipate. Il debito è e rimane di 30000 e viene rimborsato tra un anno. DIciamo che questa "trasformazione" puoi pensarla come il fatto che, nel primo anno, il debito comunque comincia a produrre interssi passivi (pari a $3000$) i quali dovranno essere rimborsati.
Inoltre il calcolo dell'interesse semestrale che hai fatto è (a mio avviso) sbagliato. Se nulla viene detto sul regime di capitalizzazione sono portato a pensare che si tratti della capitalizzazione composta, quindi:
$i_2 = (1+i)^{1/2}-1= (1+0.1)^{1/2}-1=0.048808848 ~~ 4.88$%
Ora puoi calcolarti correttamente la rata costante nel caso anticipato. Posto $D=33000$ e le $n=11$ rate si ha:
$R=D/ddot a_{\bar n|i_2} = D/{ a_{\bar n|i_2} * (1+i_2)} = D/{ a_{\bar 11|0.0488} *(1+0.0488)}=33000 / 8.766597475 ~~ 3764.29$
Ora basta calcolarsi la quota capitale (e la quota intersse come differenza):
$C_k=R*(1+i_2)^{-(n-k-1)}$ $ $ con $k=0,1,2,...,n-1$
La quota interessi si calcola come:
$I_k=R-C_k$ con $k=0,1,2,...,n-1$
e il debito residuo come:
$D_0=D-C_0$ se $k=0$
$D_k=D_{k-1}-C_k$ se $k=1,2,...,n-1$
Mi raccomando cerca di mantenere quante più cifre decimali puoi. Arrotonda solo alla fine.
Il piano di ammortamento risulta:
$[[t,k,R,C_k,I_k,D_k],[t_0,-,-,-,-,30000],[t_1^{-},-,-,-,-,33000],[t_1^{+},0,3764.29,2337.33,1426.96,30662.67],[t_2,1,3764.29,2451.41,1312.88,28211.26],[t_3,2,3764.29,2571.06,1193.23,25640.02],[t_4,3,3764.29,2696.55,1067.74,22943.65],[t_5,4,3764.29,2828.17,936.12,20115.48],[t_6,5,3764.29,2966.21,798.08,17149.27],[t_7,6,3764.29,3110.98,653.31,14038.29],[t_8,7,3764.29,3262.83,501.46,10775.46],[t_9,8,3764.29,3422.08,342.21,7353.38],[t_10,9,3764.29,3589.11,175.18,3764.29],[t_11,10,3764.29,3764.29,0,0]]$
$t_0=0$ $ $ epoca di stipula del mutuo
$t_1=1$ $ $ pagamento prima rata
$t_2=1.5$ $ $ pagamento seconda rata
$t_3=2$ $ $ pagamento terza rata
$t_4=2.5$ $ $ pagamento quarta rata
$t_5=3$ $ $ pagamento quinta rata
$t_6=3.5$ $ $ pagamento sesta rata
$t_7=4$ $ $ pagamento settima rata
$t_8=4.5$ $ $ pagamento ottava rata
$t_9=5$ $ $ pagamento nona rata
$t_10=5.5$ $ $ pagamento decima rata
$t_11=6$ $ $ pagamento undicesima rata
Ora per poter utilizzare le formule che semplificano tutto, per la proprietà della scindibilità finanziaria, l'unico modo è porre come istante di valutazione il primo anno di pagamento (quindi si ha $t_0 = 0 rarr t_0=1$) e traslando in avanti tutte le epoche. Così puoi applicare correttamente la formula dell'ammortamento francese con rate anticipate.
Quindi contrarre un debito $D^{-} =30000$ in $t_0 = 0$ è equilente, da un punto di vista finanziario, a contrarre il seguente debito in $t_0 = 1$:
$D=D^{-} *(1+i)^1=30000*(1+0.1)=33000$
Nota che si tratta solo di un "escamotage" per usare le formule dell'ammortamento francese a rate anticipate. Il debito è e rimane di 30000 e viene rimborsato tra un anno. DIciamo che questa "trasformazione" puoi pensarla come il fatto che, nel primo anno, il debito comunque comincia a produrre interssi passivi (pari a $3000$) i quali dovranno essere rimborsati.
Inoltre il calcolo dell'interesse semestrale che hai fatto è (a mio avviso) sbagliato. Se nulla viene detto sul regime di capitalizzazione sono portato a pensare che si tratti della capitalizzazione composta, quindi:
$i_2 = (1+i)^{1/2}-1= (1+0.1)^{1/2}-1=0.048808848 ~~ 4.88$%
Ora puoi calcolarti correttamente la rata costante nel caso anticipato. Posto $D=33000$ e le $n=11$ rate si ha:
$R=D/ddot a_{\bar n|i_2} = D/{ a_{\bar n|i_2} * (1+i_2)} = D/{ a_{\bar 11|0.0488} *(1+0.0488)}=33000 / 8.766597475 ~~ 3764.29$
Ora basta calcolarsi la quota capitale (e la quota intersse come differenza):
$C_k=R*(1+i_2)^{-(n-k-1)}$ $ $ con $k=0,1,2,...,n-1$
La quota interessi si calcola come:
$I_k=R-C_k$ con $k=0,1,2,...,n-1$
e il debito residuo come:
$D_0=D-C_0$ se $k=0$
$D_k=D_{k-1}-C_k$ se $k=1,2,...,n-1$
Mi raccomando cerca di mantenere quante più cifre decimali puoi. Arrotonda solo alla fine.
Il piano di ammortamento risulta:
$[[t,k,R,C_k,I_k,D_k],[t_0,-,-,-,-,30000],[t_1^{-},-,-,-,-,33000],[t_1^{+},0,3764.29,2337.33,1426.96,30662.67],[t_2,1,3764.29,2451.41,1312.88,28211.26],[t_3,2,3764.29,2571.06,1193.23,25640.02],[t_4,3,3764.29,2696.55,1067.74,22943.65],[t_5,4,3764.29,2828.17,936.12,20115.48],[t_6,5,3764.29,2966.21,798.08,17149.27],[t_7,6,3764.29,3110.98,653.31,14038.29],[t_8,7,3764.29,3262.83,501.46,10775.46],[t_9,8,3764.29,3422.08,342.21,7353.38],[t_10,9,3764.29,3589.11,175.18,3764.29],[t_11,10,3764.29,3764.29,0,0]]$
Scusami ma non ho capito perchè hai messo t11? Poi perchè applichi l'ammortamento francese con rate anticipate? non sono posticipate? Per quanto riguarda il tasso il prof ha specificato che quando c'è il Tan si fa nel modo che ho scritto sopra.
$t_1=1$ perchè stipuli in $t_0=0$ e la prima rata la paghi fra un anno. Le rate del tuo mutuo, valutato in $t_0=0$ sono posticipate, ma valutate in $t_1=1$ sono anticipate. Ammortamento francese significa solo che rata è costante (amm.to italiano invece ha la quota capitale costante).
Come ti ho già scritto (e ti invito a studiare bene questa cosa, perché su di essa poggia tutta la matematica finanziaria) la scindibilità finanziaria ti consente di valutare un'operazione finziaria in qualsiasi istante temporale (ovviamente con le dovute modifiche).
Per quanto riguarda il TAN, se il tuo prof ti ha detto di fare così, tu ovviamente fallo. Tuttavia l'argomentazione è assai discutibile (il TAN non è qualcosa di strano... è solo un tasso d'interesse).
Come ti ho già scritto (e ti invito a studiare bene questa cosa, perché su di essa poggia tutta la matematica finanziaria) la scindibilità finanziaria ti consente di valutare un'operazione finziaria in qualsiasi istante temporale (ovviamente con le dovute modifiche).
Per quanto riguarda il TAN, se il tuo prof ti ha detto di fare così, tu ovviamente fallo. Tuttavia l'argomentazione è assai discutibile (il TAN non è qualcosa di strano... è solo un tasso d'interesse).
ti ringrazio per la tua risposta
Ho fatto una modifica perchè c'era un'imprecisione.
grazie per la tua disponibilità. Avrei bisogno ancora del tuo aiuto su questo esercizio:
In un mercato obbligazionario perfetto, un portafoglio rilascia i flussi di cassa (200; 400; 500) sullo scadenzario (1; 3; 4)
Con la seguente struttura dei prezzi a pronti:
scadenza Prezzi a pronti
1 0,99
3 0,98
4 0,96
5 0,95
si calcoli il valore nominale di un Titolo a Cedola Nulla (TCN) con vita a scadenza cinque anni che occorre
aggiungere al portafoglio affinchè si abbia una convexity di 23.
Ho fatto tutti i calcoli e il risultato mi viene 6949.47 è giusto?
In un mercato obbligazionario perfetto, un portafoglio rilascia i flussi di cassa (200; 400; 500) sullo scadenzario (1; 3; 4)
Con la seguente struttura dei prezzi a pronti:
scadenza Prezzi a pronti
1 0,99
3 0,98
4 0,96
5 0,95
si calcoli il valore nominale di un Titolo a Cedola Nulla (TCN) con vita a scadenza cinque anni che occorre
aggiungere al portafoglio affinchè si abbia una convexity di 23.
Ho fatto tutti i calcoli e il risultato mi viene 6949.47 è giusto?
"anche si abbia una convexity di 23."?
vuoi dire affinché si abbia?
vuoi dire affinché si abbia?
si scusa la fretta
Premetto che di questo non sono sicurissimo. Quindi se hai qualche obiezione, fammela pure. La prima cosa da fare è calcolarsi il tasso d'intersse per le varie scadenze (bootstrap)
$[[Face,Maturity,Coupon,Price],[100,1,0,99],[100,3,0,98],[100,4,0,96],[100,5,0,95]]$
I tassi spot annui impliciti (alle epoche $t_1=1$, $t_3=3$, $t_4=4$,$t_5=5$) sono le soluzioni delle equazioni:
$99*(1+i_1)=100 rarr i_1=100/99−1 ~~ 0.01010~~1.01$%
$98*(1+i_3)^3=100 rarr i_3=(100/98)^{1/3}−1~~0.00676~~0.676$%
$96*(1+i_4)^4=100 rarr i_4=(100/96)^{1/4}−1~~0.01026~~1.026$%
$95*(1+i_5)^5=100 rarr i_5=(100/95)^{1/5}−1~~0.01031~~1.031$%
Ciò premesso, il tuo portafoglio presenta valore attuale pari a:
$V_0=200*(1+i_1)^{−t_1}+400*(1+i_3)^{−t_3}+500*(1+i_4)^{−t_4}$
sul quale costruisci un portafoglio sintetico ottenuto aggiungendo uno zero-coupon bond con scandenza cinque anni ($t_5=5$). Il portafoglio sintetico avrà valore attuale:
$200*(1+i_1)^{−t_1}+400*(1+i_3)^{−t_3}+500*(1+i_4)^{−t_4}+ 100*(1+i_5)^{-t_5}$
Dovresti sapere che la convexity di un'obbligazione è data da:
$Conv= {Coupon * \sum_{k=1}^n\ (t_k+t_k^2)*(1+i)^{-t_k}+(t_n+t_n^2)*Face*(1+i)^{-t_n}}/P_0$
Allora, il tuo portafoglio sintetico non è un'obbligazione, ma la logica è la stessa. Si tratta di risolvere, rispetto a $P$, l'equazione:
$23= {200*(t_1+t_1^2)*(1+i_1)^{−t_1}+400*(t_3+t_3^2)*(1+i_3)^{−t_3}+500*(t_4+t_4^2)*(1+i_4)^{−t_4} +100*(t_5+t_5^2)*(1+i_5)^{-t_5}}/{V_0+P_0}$
$ $
$23= {200*(1+1^2)*(1+ 0.01010)^{−1}+400*(3+3^2)*(1+0.00676)^{−3}+500*(4+4^2)*(1+0.01026)^{−4}+100*(5+5^2)*(1+0.01031)^{-5}}/{200*(1+ 0.01010)^{−1}+400*(1+0.00676)^{−3}+500*(1+0.01026)^{−4}+P_0}$
da cui:
$P_0=-306.95$
Ora, a mio avviso o c'è qualcosa di sbagliato o l'esercizio non è economicamente sensato...O meglio, bisognerebbe concludere che non esiste uno ZCB in grado di ottenere questa convexity.
$[[Face,Maturity,Coupon,Price],[100,1,0,99],[100,3,0,98],[100,4,0,96],[100,5,0,95]]$
I tassi spot annui impliciti (alle epoche $t_1=1$, $t_3=3$, $t_4=4$,$t_5=5$) sono le soluzioni delle equazioni:
$99*(1+i_1)=100 rarr i_1=100/99−1 ~~ 0.01010~~1.01$%
$98*(1+i_3)^3=100 rarr i_3=(100/98)^{1/3}−1~~0.00676~~0.676$%
$96*(1+i_4)^4=100 rarr i_4=(100/96)^{1/4}−1~~0.01026~~1.026$%
$95*(1+i_5)^5=100 rarr i_5=(100/95)^{1/5}−1~~0.01031~~1.031$%
Ciò premesso, il tuo portafoglio presenta valore attuale pari a:
$V_0=200*(1+i_1)^{−t_1}+400*(1+i_3)^{−t_3}+500*(1+i_4)^{−t_4}$
sul quale costruisci un portafoglio sintetico ottenuto aggiungendo uno zero-coupon bond con scandenza cinque anni ($t_5=5$). Il portafoglio sintetico avrà valore attuale:
$200*(1+i_1)^{−t_1}+400*(1+i_3)^{−t_3}+500*(1+i_4)^{−t_4}+ 100*(1+i_5)^{-t_5}$
Dovresti sapere che la convexity di un'obbligazione è data da:
$Conv= {Coupon * \sum_{k=1}^n\ (t_k+t_k^2)*(1+i)^{-t_k}+(t_n+t_n^2)*Face*(1+i)^{-t_n}}/P_0$
Allora, il tuo portafoglio sintetico non è un'obbligazione, ma la logica è la stessa. Si tratta di risolvere, rispetto a $P$, l'equazione:
$23= {200*(t_1+t_1^2)*(1+i_1)^{−t_1}+400*(t_3+t_3^2)*(1+i_3)^{−t_3}+500*(t_4+t_4^2)*(1+i_4)^{−t_4} +100*(t_5+t_5^2)*(1+i_5)^{-t_5}}/{V_0+P_0}$
$ $
$23= {200*(1+1^2)*(1+ 0.01010)^{−1}+400*(3+3^2)*(1+0.00676)^{−3}+500*(4+4^2)*(1+0.01026)^{−4}+100*(5+5^2)*(1+0.01031)^{-5}}/{200*(1+ 0.01010)^{−1}+400*(1+0.00676)^{−3}+500*(1+0.01026)^{−4}+P_0}$
da cui:
$P_0=-306.95$
Ora, a mio avviso o c'è qualcosa di sbagliato o l'esercizio non è economicamente sensato...O meglio, bisognerebbe concludere che non esiste uno ZCB in grado di ottenere questa convexity.
allora secondo me si utilizzano direttamente i prezzi dati: v(0,1)= 0.99
v(0.3) =0.98
v(0.4)=0.96
v(0.5)=0.95
(1)^2*200*0.99+3^2*400*0.98+4^2*500*0.96+5^2*C*0.95/200*0.99+400*0.98+500*0.96+C*0.95=23 C =6949.47
Sinceramente no so quale procedimento sia giusto.
v(0.3) =0.98
v(0.4)=0.96
v(0.5)=0.95
(1)^2*200*0.99+3^2*400*0.98+4^2*500*0.96+5^2*C*0.95/200*0.99+400*0.98+500*0.96+C*0.95=23 C =6949.47
Sinceramente no so quale procedimento sia giusto.
Allora, può essere che la mia soluzione sia non corretta. Ma la tua è sicuramente sbagliata.
i motivi sono molto semplici:1) i prezzi che hai non hanno a che fare con il tuo portafoglio (almeno così apprendo dal testo dell'esercizio); sono prezzi di obbligazioni alle varie scadenze che ti servono per ricavare la curva dei tassi spot (questo esercizio è abbastanza standard);
2) gli ZCB sono emessi SEMPRE sotto la pari (ossia devono avere un valore $0 < P_0 < 100$).Il tuo ha valore $P_0=6949.47$ gli ZCB sono i titoli a sconto per eccellenza.
Per curiosità che esame stai preparando? a che università studi?
P.S: sarebbe il caso che imparassi a scrivere le formule...
allora sto preparando l'esame di matematica finanziaria, studio all'università di economia. Per te come si svolge l'esercizio?
Se non chiedo troppo, in che università? che libro di testo usi?
Secondo me andrebbe svolto come l'ho fatto io.... ma mi rendo conto che non convinca molto...
Secondo me andrebbe svolto come l'ho fatto io.... ma mi rendo conto che non convinca molto...
all'università di taranto, cmq il testo è Torriero A., Scovenna M.,Scaglianti L. Manuale di Matematica.
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