Montante matematico

[curie88]

Buon giorno a tutti,

Come è noto la formula per il calcolo del montante(matematico) è la seguente:
$M = C_0*(1+r/n)^(n*t)$

Ho notato che se $n->infty$, la seguente è equivalente:
$M = C_0*(1+r*t/n)^n$

Come si dimostra? Bisogna sviluppare?

[cooper1]

non so se ci sia qualche risvolto economico di fondo, ma provo a risponderti sulla base di questioni di analisi. riscrivendo la prima espressione tramite l'esponenziale e sapendo che $n-> +oo$ si ha che:
$ C_0e^(ntln(1+r/n)) ~ C_0 e^(nt*r/n)=C_0 e^(rt) $
facendo lo stesso con la seconda espressione:
$ C_0e^(nln(1+rt/n)) ~ C_0 e^(n(rt)/n)=C_0 e^(rt) $
le due quindi hanno lo stesso comportamento.
io ragionerei così!

[curie88]

Ciao cooper, grazie per la risposta, apprezzo la procedura, è penso che sia sufficiente a dimostrare l' uguaglianza delle due formule, al tendere di $n$ ad infinito, anche se:

$lim n->infty ( C*(e^(n*(ln(1+r*t/n)))) - C*(e^(n*t*r/n) ) = 0$

anche se qui mi sorge un altro dubbio, i due infiniti sono dello stesso ordine?

Avrei dovuto postare la domanda in analisi...

[cooper1]

non ho capito perchè tu abbia sottratto le due successioni, non serve. ad ogni modo ciò che conta è la n all'esponente non i coefficienti che si hanno. quelli sono solo numeri, quindi si hanno lo stesso ordine di infinito.

[curie88]

Ma infatti ho riportato ciò che hai scritto tu...quindi non capisco nemmeno io...
Ad ogni modo, risulta:
$M(t) = lim(n->\infty) ( C_0 * e^(n*log(1+rt/n))) = C_0 * e^(r*t)$
ma non riesco ad eliminare la forma indeterminata $(0*\infty)$

[cooper1]

il simbolo che ho messo io non è un meno ma il simbolo di asintotico! è un po' piccolo ma se ti serve per capire di più sostituiscilo con "$~~$".
in pratica ho usato la stima asintotica del logaritmo la quale afferma che: $ log(1+s)~~ s $ per $s->0$. nel nostro caso $s=r*t/n$ che per $n->+oo$ tende a zero.

[curie88]

Ok, capito ora, anche se mi piacerebbe trovare una dimostrazione di questa stima asintotica dato che è molto utile.
Io in serata ho guardato sul mio libro di analisi, ed ho visto che esiste, proprio per questo caso, il limite notevole:
$lim n->\infty (1+a/n)^n = e^a$
quindi, ponendo: $a=rt$, $lim n->\infty (1+(rt)/n)^n = e^(rt)$

[cooper1]

è esattamente quello: è proprio la definizione del numero di Nepero quella.
io però quando ho una x all'esponente uso subito le proprietà dei logaritmi per vedere il tutto come un'esponenziale e poi tratto il problema come mi fa più comodo. ciò non toglie che quello che hai trovato sia corretto. mi sembra strano che non lo sapessi già comunque, in genere è abbastanza famoso come limite

[curie88]

Si in effetti avrei dovuto saperlo...anche se è una definizione un po' più generalizzata, l' importante è che tutto torna.
Grazie comunque...

io però quando ho una x all'esponente uso subito le proprietà dei logaritmi per vedere il tutto come un'esponenziale

Già fai bene, mi sembra un ottima scelta, che appunto va applicata anche nel procedimento che ho scritto.

[cooper1]

"curie88":Già fai bene, mi sembra un ottima scelta, che appunto va applicata anche nel procedimento che ho scritto.

esatto così non mi devo neanche preoccupare di riconoscere il limite notevole.

"curie88":
Grazie comunque...

prego!