Modello HJM
Salve a tutti!
Premetto che sono un ingegnere elettronico (triennale), dunque le mie conoscenze riguardo il mondo dell'economia sono pressoché nulle.
Un collega economo mi ha chiesto una mano riguardo un passaggio della dimostrazione del teorema 1 di questo paper.
Il passaggio incriminato è quello da \(Y_t\) a \(\text{d}Y_t\), il quale ad una prima occhiata mi sembrava abbastanza banale.
Purtroppo arrivo ad un risultato errato, sicché chiedo se è possibile, senza utilizzare strumenti avanzati (di cui non dispongo) come il calcolo stocastico, arrivare alla soluzione e, in tal caso, come arrivarci.
Posto i miei conti tutt'altro che rigorosi
\[\begin{align} \text{d}Y_t &= \lim_{\tau \to 0} \,\, [ Y_{t+\tau}-Y_{t} ] \\
&= \lim_{\tau \to 0} \left[- \int_{t+\tau}^s f(t+\tau,u) \text{ d}u -\left( - \int_t^s f(t,u) \text{ d}u\right) \right] \\
&=\lim_{\tau \to 0} \left[- \left( \int_t^s f(t+\tau,u) \text{ d}u - \int_t^{t+\tau} f(t+\tau,u) \text{ d}u \right) -\left( - \int_t^s f(t,u) \text{ d}u\right) \right] \\
&=\lim_{\tau \to 0} \left[ \int_t^{t+\tau} f(t+\tau,u) \text{ d}u -\left( \int_t^s f(t+\tau,u)-f(t,u) \text{ d}u\right) \right] \\
&=\lim_{\tau \to 0} \int_t^{t+\tau} f(t+\tau,u) \text{ d}u - \int_t^s \lim_{\tau \to 0} \, [f(t+\tau,u)-f(t,u)] \text{ d}u \\
&=f(t,s)\text{ dt}- \int_t^s \text{ d}f (t,u) \text{ du}
\end{align} \]
Premetto che sono un ingegnere elettronico (triennale), dunque le mie conoscenze riguardo il mondo dell'economia sono pressoché nulle.
Un collega economo mi ha chiesto una mano riguardo un passaggio della dimostrazione del teorema 1 di questo paper.
Il passaggio incriminato è quello da \(Y_t\) a \(\text{d}Y_t\), il quale ad una prima occhiata mi sembrava abbastanza banale.
Purtroppo arrivo ad un risultato errato, sicché chiedo se è possibile, senza utilizzare strumenti avanzati (di cui non dispongo) come il calcolo stocastico, arrivare alla soluzione e, in tal caso, come arrivarci.
Posto i miei conti tutt'altro che rigorosi
\[\begin{align} \text{d}Y_t &= \lim_{\tau \to 0} \,\, [ Y_{t+\tau}-Y_{t} ] \\
&= \lim_{\tau \to 0} \left[- \int_{t+\tau}^s f(t+\tau,u) \text{ d}u -\left( - \int_t^s f(t,u) \text{ d}u\right) \right] \\
&=\lim_{\tau \to 0} \left[- \left( \int_t^s f(t+\tau,u) \text{ d}u - \int_t^{t+\tau} f(t+\tau,u) \text{ d}u \right) -\left( - \int_t^s f(t,u) \text{ d}u\right) \right] \\
&=\lim_{\tau \to 0} \left[ \int_t^{t+\tau} f(t+\tau,u) \text{ d}u -\left( \int_t^s f(t+\tau,u)-f(t,u) \text{ d}u\right) \right] \\
&=\lim_{\tau \to 0} \int_t^{t+\tau} f(t+\tau,u) \text{ d}u - \int_t^s \lim_{\tau \to 0} \, [f(t+\tau,u)-f(t,u)] \text{ d}u \\
&=f(t,s)\text{ dt}- \int_t^s \text{ d}f (t,u) \text{ du}
\end{align} \]
Risposte
Dunque, mi sono convinto tramite un ragionamento grafico che
\[ \int_t^{t+\tau} f (t+\tau, u) \text{ d}t \approx \begin{cases} \tau f(t,t) \\ \tau f(t,t+\tau) \\ \tau f (t+\tau, t) \\ \tau f(t+\tau, t+\tau) \end{cases} \]
quindi passando al limite per \(\tau \to 0\) si trova \(f(t,t)\text{ d}t\).
Mi sono comunque accorto che in realtà
\[\lim_{\tau \to \ 0} f(t+\tau, u) - f(t,u) = \frac{\partial f}{\partial t} (t,u) \text{ d}t\]
e che
\[\text{d}f(t,u)=\frac{\partial f}{\partial t} (t,u)\text{ d}t+\frac{\partial f}{\partial u}(t,u) \text{ d}u\]
quindi, come si giustifica il differenziale sotto il segno di integrale?
\[ \int_t^{t+\tau} f (t+\tau, u) \text{ d}t \approx \begin{cases} \tau f(t,t) \\ \tau f(t,t+\tau) \\ \tau f (t+\tau, t) \\ \tau f(t+\tau, t+\tau) \end{cases} \]
quindi passando al limite per \(\tau \to 0\) si trova \(f(t,t)\text{ d}t\).
Mi sono comunque accorto che in realtà
\[\lim_{\tau \to \ 0} f(t+\tau, u) - f(t,u) = \frac{\partial f}{\partial t} (t,u) \text{ d}t\]
e che
\[\text{d}f(t,u)=\frac{\partial f}{\partial t} (t,u)\text{ d}t+\frac{\partial f}{\partial u}(t,u) \text{ d}u\]
quindi, come si giustifica il differenziale sotto il segno di integrale?
Credo di aver risolto. In questo libro l' autore scrive esplicitamente che (cfr pg 48, riga 15)
\[\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\text{d}f}{\text{d} t}\]
quindi il problema dovrebbe essere dovuto solamente ad un abuso di notazione.
\[\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\text{d}f}{\text{d} t}\]
quindi il problema dovrebbe essere dovuto solamente ad un abuso di notazione.
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